DM base orthonormée / produit scalaire

[Doraki]

Encore une fois c'est une conséquence simple de que P'(n+1)Pn(x)-P'n(x)P(n+1)(x) est de signe constant.

Ca ressemble à la dérivée de quoi, P'(n+1)Pn(x)-P'n(x)P(n+1)(x) ?

[romulus001]

ça ressemble à du P(n+1)/Pn, mais ce n'est pas exactement ça

[Doraki]

Ouais, tu peux étudier les variations et les limites de Pn/P(n+1) ou P(n+1)/Pn ?

[romulus001]

les 2 explosent lorsque l'on trouve une racine pour Pn ou pour P(n+1), et
Fn=Pn/P(n+1) est strictement croissante entre 1 racine de Pn et 1 racine de P(n+1)
en se plaçant sur un intervalle [r1,r2] comme précédemment, Fn(r1)=Fn(r2)=0, Fn explose en un point r dans ]r1,r2[ mais qui décroit strictement sur ]r1,r[ et sur ]r,r2[

Je ne sais pas combien de fois vous m'avez donné ces petites astuces, mais je vous remercie pour tout :we:

[Doraki]

J'imagine que tu t'es trompé de mot quand tu dis une fois que Fn est croissante et une fois qu'elle est décroissante ?

Si tu parles de Fn = Pn/P(n+1), Fn explose sur les racines P(n+1) et est nulle sur celles de Pn, et tend vers 0 vers plus ou moins l'infini.
De plus elle est monotone, ce qui implique qu'il y a alternance entre les (n+1) pôles et les (n+1) racines (en comptant la "racine" en +-l'infini)

Y'a ptetre une manière plus "simple" de voir les choses, si t'aimes pas les divisions (moi je sais que j'aime pas les divisions en tout cas) :
Si tu prends un repère et que tu traces la courbe paramétrée M(t) = (Pn(t),P(n+1)(t)) pour t dans R,
on sait déjà qu'elle ne passe pas par le centre du repère O.

On a une racine de Pn quand M est sur l'axe des x, et une racine de P(n+1) quand il est sur l'axe des y.

L'information que PnP'(n+1)-P'nP(n+1) = det(M,M') est de signe constant veut exactement dire que l'orientation entre le vecteur OM et son vecteur dérivé est toujours la même.
Et donc que le point M tourne autour de O quand t varie, toujours dans le même sens.
Et là, c'est "clair" de voir qu'il y a alternance entre les racines de P(n+1) et les racines de Pn vu que la courbe M(t) croise les axes x et y en alternance aussi.

[romulus001]

oui, oui, effectivement, Fn est strictement décroissante, je ne me suis pas rendu compte de mon erreur :ptdr:

Sinon, cette démo me plait bien, ce ne sera pas nécessaire d'en trouver une autre.
Concernant les dernières questions que je n'ai pas su répondre, je laisse tomber, j'ai un interro cette semaine, et je n'ai pas encore bien révisé (une UE qui n'a rien à voir avec ce DM).
Merci pour tout, vous m'avez bien aidé :++: