DM base orthonormée / produit scalaire

[romulus001]

Bonjour à tous, pourriez-vous me donner un coup de main pour ce DM? Ce serait sympa.

1)
Dans toute la suite, on se donne -0 presque partout dans ]a,b[.
Sur R[X], on considère la forme bilinéaire :
h(P,Q)=

On note E={u mesurable, w(x)dx0
(x)=(x+)+(x)
où =0
Déterminer , , en fonction de x(x)(x)w(x)dx, k=n,n-1 et n-2
Enfin, Montrez que = si n>0 et =- si n>1

(b)En remarquant que
(x-y)P(x)Pn(y)=
( (x)Pn(y)-(x)Pn(y) ) - ( (y)Pn(x) - (y)Pn(x) )
en déduire que pour xy que si n>0
Pn(x)Pn(y)= -

(c) En déduire
K(x,y)= P(x)P(y)=

(d) En faisant tendre y vers x, en déduire une expression de P'P-P'P

(e)Déduire que P et P ne sont jamais simultanément nuls et que les zéros de P alternent avec ceux de P (montrer à l'aide du théo des valeurs intermédiaires, qu'entre 2 racines consécutives de , il existe une racine de P)


3)
(a) Justifier que {P,nN} est une base hilbertienne de E pour la norme découlant de h (utiliser les théo de Weierstrass)

(b) Montrez que pour tout P de R[X], P(y)=h(P,K(.,y) ) et qu'en particulier, 1= Kn(x,y)w(x)dx

(c) Soient f une fonction (a,b) et n et x]a,b[
f(x)=Kn(x,y)f(y)w(y)dy

(i) x]a,b[ on note
Mq f(x)-fn(x)=Kn(x,y)[ f(x)-f(y) ]w(y)dy

(ii) En déduire
f(x)-fn(x)=[ h(Pn,)P(x)-h(P,)Pn(x) ]

(iii) On suppose savoir que x fixé dans ]a,b[, les suites (an)P(x) et (an)Pn(x) sont bornées.
Justifier que x, fn(x) tend vers f(x)


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----------------------------------------------------------------------

Ce que j'ai fait:
1)
a) h existe car P,Q sont des polynômes donc de classe sur ]a,b[
w de classe sur ]a,b[
donc P*Q*w de classe sur ]a,b[, donc intégrable sur ]a,b[.
---------------------------------------------
h(P,Q)=h(Q,P) évident.
---------------------------------------------
h(P,P) 0: j'ai pris n points sur ]a,b[, , , ..., , et je prends =a et =b tel que
0 sur chaque ], [, 0 donc w(x)0 et donc i, 0
---------------------------------------------
h(P,P)=0
c'est comme avant, mais je dis que =0
w>0 sur ], [, donc P=0 sur ], [, ie, P nul presque partout sur [a,b], donc (polynôme) P=0

(b)j'ai dit que n, =
avec =1
=-h(, )
...
=-(, )

deg()=deg()=n et donc =

(c) P dans R[X], P(x)= et j'ai réussi à dire que c'était aussi où
=||||+h(,)[smb]somme[/smb](j) (j va de i+1 à n)

(d) Existence:
Q dans R[X]
h(,Q)=h(,)=h(,)=0 car (b)
---------------------------------------------
Unicité:
Soit , tel que h(,Q)=0=h(,Q)
=> h(-,Q)=0
Si c'est vrai pour tout Q, c'est vrai pour Q=- et donc (h produit scalaire) -=0 => =

(e) j'ai utilisé la même astuce que précédemment pour montrer l'existence

(f) et (g) je n'ai pas réussi

2)
(a)

(b)à gauche, j'ai mis les termes sans le en facteur, et à droite le reste, j'ai divisé par , et et j'ai remarqué que =-

(c) (d) (e) je n'ai pas réussi

3)
(a) (b) je n'ai pas réussi

(c)
(i) en partant de l'intégrale, c'est relativement simple

(ii) là aussi, je suis parti de l'intégrale et je me suis servi de 2) (c)

(iii) je n'ai pas réussi

[leon1789]

pour le 1/ f), un raisonnement par l'absurde est inutile, comme souvent...

Considère le polynôme Q(X) formé par le produit des monomes où parcourt les racines de multiplicité impaire de se trouvant dans l'intervalle .
Ensuite étudie le signe ...

[romulus001]

je ne pense pas que ce soit une bonne astuce, puisqu'on ne connait pas les racines de Pn, ni mêmes qu'elles sont dans ]a,b[ (c'est la question 1) g) ).

Je pensais dire que si Pn n'est pas scindé, il peut s'écrire sous la forme avec un réel non nul
-> je considère le cas où >0 puis j'aboutis à une contradiction, donc je considère que =0

Au final, j'ai =0
Je ne sais pas si on peut que P=0...
Aussi, je ne me souviens plus le degrés du polynôme nul, si c'est + ou -
Si c'est +, il ne peut pas être dans R_{n-1}[X], d'où la contradiction sur les Pn...

[leon1789]

Je pensais dire que si Pn n'est pas scindé, il peut s'écrire sous la forme avec un réel non nul

ah bon ! pourquoi ?? :hein:

je ne pense pas que ce soit une bonne astuce, puisqu'on ne connait pas les racines de Pn, ni mêmes qu'elles sont dans ]a,b[ (c'est la question 1) g) ).

Justement , je propose de répondre sumultanément aux questions f et g !! (encore une "preuve" qu'un raisonnement par l'absurde n'est pas ce qu'il y a de mieux :id: )

Tu me fais confiance ? si oui, alors que peux-tu dire du signe du produit avec la polynôme Q que je t'ai proposé au-dessus ?

[leon1789]

Je pensais dire que si Pn n'est pas scindé, il peut s'écrire sous la forme avec un réel non nul

ah bon ! pourquoi ?? :hein:

[romulus001]

je me suis trompé, j'ai voulu dire = :we:

Sinon, le produit doit être positif, vu le tête de Q

[leon1789]

je me suis trompé, j'ai voulu dire = :we:

je ne sais pas.

Sinon, le produit doit être positif, vu le tête de Q

Disons que est de signe constant sur [a,b] (il pourrait être négatif, non ?). Il faut dire pourquoi : oui, c'est à cause de Q, mais pourquoi précisément ?

Bien sûr le produit est une fonction continue non identiquement nulle, et comme elle est de signe constant, son intégrale n'est pas nulle (l'intégrale est du même signe de ). Ok ?

Que peut-on dire sur le polynôme Q sachant que ?

[romulus001]

chaque sera au carré ???

Pour l'autre, à part que Q n'est pas le polynôme nul, je ne vois pas ce que l'on peut dire de plus (j'ai l'impression de ramer...)

[leon1789]

chaque sera au carré ???

disons à une puissance paire. ok.

Pour l'autre, à part que Q n'est pas le polynôme nul, je ne vois pas ce que l'on peut dire de plus (j'ai l'impression de ramer...)

On est en train de répondre aux questions f/ et g// : as-tu vu la question e/ ? Que dire sur Q sachant que ?

[romulus001]

e) nous dit que si Q est de degrés Q est de degrés n+1

c'est intéressant de remarquer ceci? cela veut-il dire que Q ne s'écrit pas comme produit des de multiplicité impair ? :hein:

[romulus001]

je sais que je vais me faire taper sur les doigts, mais je n'ai pas vraiment le choix, vu que vous n'êtes plus là, et que je ne vois pas où vous voulez m'y amener

Pour montrer le f), je suppose par l'absurde que f n'est pas scindé --> il existe P de degrés 0, j'arrive à une contradiction avec le e) donc PnP0

Si je suppose que PnP on a donc ={0}
Ce qui nous amène à dire que {0} est l'unique base orthonormée de (norme =0)

Cela est impossible d'après d), et donc au final, Pn est scindé

[Doraki]

e) nous dit que si Q est de degrés Q est de degrés n+1

c'est intéressant de remarquer ceci? cela veut-il dire que Q ne s'écrit pas comme produit des de multiplicité impair ? :hein:

Non, si h(Pn,Q) 0, alors Q est de degré au moins n, pas au moins n+1.
Et oui, c'est intéressant de déduire quelquechose sur le dergé de Q.

leon a dit de regarder le polynôme Q(X) formé par le produit des monomes X-r où r parcourt les racines de multiplicité impaire de P_n se trouvant dans l'intervalle ]a,b[.
Alors pourquoi diable veux-tu prouver que Q n'est pas lui-même ?? Tu n'es pas en train de faire un raisonnement par l'absurde puisque pour l'instant t'as rien supposé sur P ou Q.

Au vu de la manière dont est construit Q et sachant que Pn est de degré n, de quel degré Q peut-il être et à quoi correspond son degré ?

Sachant que PnQ est de signe constant et non identiquement nul, tu en déduis que h(Pn,Q) n'est pas nul, et donc quel est le degré de Q ?

[Doraki]

Pour montrer le f), je suppose par l'absurde que f n'est pas scindé --> il existe P de degrés on a donc ={0}
Ce qui nous amène à dire que {0} est l'unique base orthonormée de (norme =0)
Cela est impossible d'après d)

C'est absolument n'importe quoi.

[leon1789]

Non, si h(Pn,Q) 0, alors Q est de degré au moins n, pas au moins n+1.
Et oui, c'est intéressant de déduire quelquechose sur le dergé de Q.

leon a dit de regarder le polynôme Q(X) formé par le produit des monomes X-r où r parcourt les racines de multiplicité impaire de P_n se trouvant dans l'intervalle ]a,b[.
Alors pourquoi diable veux-tu prouver que Q n'est pas lui-même ?? Tu n'es pas en train de faire un raisonnement par l'absurde puisque pour l'instant t'as rien supposé sur P ou Q.

Au vu de la manière dont est construit Q et sachant que Pn est de degré n, de quel degré Q peut-il être et à quoi correspond son degré ?

Sachant que PnQ est de signe constant et non identiquement nul, tu en déduis que h(Pn,Q) n'est pas nul, et donc quel est le degré de Q ?

Allez, j'aide encore un peu :id:
On a car...
On a car...
Donc,
Or Q divise donc où
Et enfin, par construction Q est ... , ses racines sont .... et appartiennent à ...

[romulus001]

pas étonnant que je n'y arrive pas, je ne pensais pas devoir parler du degrés de Q...

Sinon, deg(Q)deg(Pn) car on a obtenu la contraposée de e)

deg(Q)deg(Pn) car Q contient les racines de Pn (???) [à cause de la multiplicité, ça ne marche pas forcément :hum: ]

et donc Q est colinéaire à Pn, Pn est donc scindé, a ses racines dans ]a,b[

[leon1789]

ok

deg(Q)deg(Pn) car Q contient les racines de Pn (???) [à cause de la multiplicité, ça ne marche pas forcément :hum: ]

car le degré de Q est inférieur au nombre des racines de P , qui lui-même est inférieur au degré de P. (inutile de parler de multiplicité ici)

[romulus001]

ok, c'est pas mal comme démo, merci à vous deux!

Par contre, concernant les multiplicités, faut-il refaire la même démo, mais en prenant Q le produit des de multiplicités 1 ?

[leon1789]

Par contre, concernant les multiplicités, faut-il refaire la même démo, mais en prenant Q le produit des de multiplicités 1 ?

la démo que l'on vient de faire permet aussi de conclure que toutes les racines de P sont simples (...comme celles de Q...) !

[romulus001]

ok, c'est noté.

j'ai continué à regarder la suite, la question 2) a) est finie à moitié

Je montre que peut s'écrire (x+)

Pour ça, je dis que =x+
0 car deg()=1 et donc
peut s'écrire comme étant
et donc
=(x+
je prend , et

Pour , je fais , puis je fais comme précédemment, je prends , puis je dis que , et je prends et

A l'étape n, je traite la partie exactement comme précédemment avec
Concernant la partie , je dis que tout ça c'est mon et mon est 1

-----------------------------------

Pour la suite, j'ai quelques soucis...
=1(base orthonormée)==
et donc

=0(base orthonormée)==
et donc

=0(base orthonormée)=
et donc

Le problème, c'est que ça ne correspond pas vraiment à ce que je dois trouver

[Doraki]

je prend
...
je prends
et je prends

Non P0, P1 et les Pn ce sont la base orthonormée, tu n'as pas de le droit de dire "je prends P0 = 17 et P1 = 42x-5" juste pour te faire plaisir.

Si P et Q sont deux polynômes quelconques, est-ce qu'il y a une relation entre h(xP, Q) et h(P,xQ) ?

Que vaut h(xP(n-1), Q) si d°Q < (n-2) ?
Que peux-tu dire de la décomposition du polynôme xP(n-1) dans la base (P0,P1,...,Pn) de Kn[X]?