Base orthonormée

par **jeje56** » 16 Jan 2007, 20:51

Quelqu'un aurait il ne serait-ce qu'une piste... Merci d'avance ;-)

On munit R^3 du produit scalaire. On pose : u1=(122) u2=(101) u3=(110)
Question : trouver une base orthonormée (e1,e2,e3) de R^3 telle que e1 est colinéaire à u1 et telle que le plan engendré par (e1,e2) est égal au plan engendré par (u1,u2).

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 20:52

procédé d 'orthonormalisation de gram schmit ?

par **jeje56** » 16 Jan 2007, 20:54

Non spécifié ds l'exercice...

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 20:57

bon alors on prend e1 = u1 / II u1II

et on cherche e' 2 = ae1 + u2 pour que e'2 soit orthogonal à e1
on trouve alors a
et on prend e2 = e'2/IIe'2II

et ensuite

e'3 = be1+ce2+ u3 pour que e'3 orthogonal à e1 et e2 on trouve donc b et c

et e3 = e'3 /IIe'3II

par **jeje56** » 16 Jan 2007, 21:08

Pourquoi : e'2 = ae1 + u2 ?... (je suis perdu là...)

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 21:14

e'2 sera le e2 à un scalaire près
on veut que le plan engendré par e1 et e2 soit celui engendré par u1 et u2

donc e'2 doit être combinaison linéaire de u1 et de u2 comme u1 est colinéaire à e1 , e'2 doit être combinaison de e1 et u2 on prend 1 comme coeff suivant u2 (parceque ça marche bien ainsi)

par **jeje56** » 16 Jan 2007, 21:24

Ok, mais en quoi e'2 = ae1 + u2 traduit l'orthogonalité de e'2 et e1?

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 21:26

non cela ne la traduit pas on cherche justement a pour que les vecteurs e'2 et e1 soient orthogonaux : e'2.e1 = 0 ssi a = - e1.u2 et la valeur de a qui va bien ....

par **jeje56** » 16 Jan 2007, 21:32

On peut donc trouver le a de deux façons non? En résolvant e'2 = ae1 + u2 et par produit scalaire nul de e'2 et e1, non?

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 21:35

mais non

on écrit d 'abord

e'2 = a e1 + u2 là on ne se sait rien encore sur a et ensuite on trouve a

avec le produit scalaire

par **jeje56** » 16 Jan 2007, 21:39

ah mé oui je suis bête le e'2 est inconnu... Dernière précision : tu traduis l'égalité des plans engendré par e'2 = combinaison linéaire de u1 et u2 ? Je vois pas exactement pourquoi, j'aurai dit : ae1 + be2 = au1 + bu2 (ou e'2 à la place de e2)... Le lien est peut etre évident? Merci bcp

par **fahr451** » 16 Jan 2007, 21:47

on a "deux" plans

P engendré par u1 et u2

P' engendré par e1 et e'2
les deux plans sont égaux ssi e1 est dans P et e'2 dans P également

or e1 y est car e1 est colinéaire à u1

reste donc e'2 qui doit être combinaison de u1 (donc e1) et u2

et j 'impose le coeff suivant u2 égal à 1 car ça m 'arrange!

par **jeje56** » 16 Jan 2007, 21:53

D'accord, je pense avoir compris, merci bcp à toi ;-)

Base orthonormée

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