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[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

On me demande d'étudier l'injectivité et la surjectivité de :



Je connais le principe pour les deux démo, mais le produit xy m'empèche de résoudre mes systèmes.
Merci de m'indiquer une astuce

[chan79]

Salut,

On me demande d'étudier l'injectivité et la surjectivité de :



Je connais le principe pour les deux démo, mais le produit xy m'empèche de résoudre mes systèmes.
Merci de m'indiquer une astuce

salut
(2,3)=(3,2)=(5,6)
Ensuite, difficile de trouver deux nombres dont la somme est 1 et le produit 1

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Chan et merci pour ta réponse !

Le problème c'est que tu me donnes un cas particulier ici. Or je dois montrer pour tous couples (x,y) et (x',y') de R², que phi(x,y)=phi(x',y') implique (x,y)=(x',y'), je pose un système, et je bloque.
Peut-être dois-je y aller par la contraposée ?

[Euler07]

Hey

Si x est différent de y, les couples (x,y) et (y,x) sont distincts et l'on a l'égalité f(x,y) = f(y,x), c'est pour ça que f n'est pas injective

L'équation f(x,y) = (0,1) équivaut au système a + b = 0 et ab = 1 .... puis on conclut

=)

:livre:

[Kikoo <3 Bieber]

Haaan oui, merci à toi, Euler07 ! Grâce à toi, je viens de comprendre ce que Chan79 voulait me faire comprendre ^^ Merci à vous deux !

Et dire que je croyais qu'il fallait que je montre que phi était injective et surjective.

[Luc]

Haaan oui, merci à toi, Euler07 ! Grâce à toi, je viens de comprendre ce que Chan79 voulait me faire comprendre ^^ Merci à vous deux !

Et dire que je croyais qu'il fallait que je montre que phi était injective et surjective.

Donc n'est pas injective. est -elle surjective? Indication : un carré est toujours positif.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Luc !

phi n'est pas non plus surjective, car il n'existe pas de couple (a,b) satisfaisant phi(a,b)=(0;1).
En effet, on tombe sur b²=-1 ce qui est impossible quand on travaille dans le corps des réels :)

[Kikoo <3 Bieber]

Yop,

Je révise et dans un document il est question d'établir que l'application f de l'ensemble des réels dans lui-même qui à x associe est injective.
Le principe :

Soit un ; si , alors :
d'où ce qui équivaut à
Si c'est x-x' qui est nul, j'ai fini. Si c'est qui l'est, je ne sais pas comment travailler pour obtenir x=x'.
Merci de m'aider

[Nightmare]

Hello,

tu peux montrer que x²+xy+y² ne s'annule jamais, sauf en x=y=0. Pour ça tu peux utiliser la forme canonique par exemple.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut et merci !
J'ai factorisé en utilisant la forme canonique, comme tu me l'as conseillé, mais ça ne m'a pas avancé. Je n'ai pas vu le "truc".

Pour ma part, j'ai rédigé quelque chose vite fait en attendant.
On calcule .

Nous voulons que l'équation ait une solution au moins. On impose alors d'où qui a pour solution .

On remplace dans l'équation de départ, et on trouve d'où .
On en conclut que si cette équation s'annule, ce n'est qu'en x=x'=0.

[Doraki]

x²+xy+y² = (x+y/2)²+(sqrt3.y)², c'est une somme de deux carrés (la forme canonique consiste à mettre le truc sous forme soit d'une somme soit d'une différence de deux carrés, ce qui arrive selon le signe du déterminant)
Donc si ce truc est nul, alors les deux carrés sont nuls, et donc x et y sont nuls.

[Kikoo <3 Bieber]

x²+xy+y² = (x+y/2)²+(sqrt3.y)², c'est une somme de deux carrés (la forme canonique consiste à mettre le truc sous forme soit d'une somme soit d'une différence de deux carrés, ce qui arrive selon le signe du déterminant)
Donc si ce truc est nul, alors les deux carrés sont nuls, et donc x et y sont nuls.

Salut Doraki,

La "somme de deux carrés est nulle => (x+ y/2)²=0 et (sqrt{3}y)²=0" est-elle une condition suffisante pour que x et y soient nuls ? Comment pourrais-je m'en convaincre ?

[Nightmare]

La deuxième elle te donne quoi déjà?

[Kikoo <3 Bieber]

La deuxième ?

Je vois bien que si l'on considère (x+ y/2)²=0 et (sqrt{3}y)²=0 indépendamment de leur somme, on tombe sur x=y=0.
Le problème de mon point de vue est de passer de (x+ y/2)²+(sqrt{3}y)²=0 à ce que je viens d'écrire.

[Doraki]

Quand t'as des trucs positifs, si leur somme est nulle, alors ils sont nuls.
si a>=0, b>=0, et a+b=0, alors a=b=0 :

a+b = 0, donc a= -b.
b>=0, donc -b <= 0, et donc a <= 0.
a>=0 et a<=0, donc a=0.
b= -a, et a=0, donc b=0.

[Kikoo <3 Bieber]

Certes ^^ Ce que je veux dire c'est : "considérer A+B=0 d'où A=0 et B=0 n'est-il pas abusif ?"


Edit : Non, je viens de comprendre, excusez-moi ! :hum:
On a A+B=0 qui restreint notre étude à deux cas : A est l'opposé de B ou A=B=0.
Or ici, il ne peut y avoir d'opposé car A et B sont des carrés (et par voie de conséquence positifs), donc A=B=0 nan ? :D
Il m'en a pris du temps pour un truc aussi bête. Merci encore à vous Nightmare et Doraki !

[Luc]

Yop,

Je révise et dans un document il est question d'établir que l'application f de l'ensemble des réels dans lui-même qui à x associe est injective.
Le principe :

Soit un ; si , alors :
d'où ce qui équivaut à
Si c'est x-x' qui est nul, j'ai fini. Si c'est qui l'est, je ne sais pas comment travailler pour obtenir x=x'.
Merci de m'aider

C'est une méthode possible, mais dans le cas d'une fonction de variable réelle on a des outils d'analyse bien plus puissants que le simple fait de revenir a la définition. Pense qu'une fonction strictement monotone sur un intervalle est injective. Il y a un petit détail a régler en 0 mais rien de bien méchant.

[Luc]

Certes ^^ Ce que je veux dire c'est : "considérer A+B=0 d'où A=0 et B=0 n'est-il pas abusif ?"

Non, car A et B sont positifs.

[Kikoo <3 Bieber]

C'est une méthode possible, mais dans le cas d'une fonction de variable réelle on a des outils d'analyse bien plus puissants que le simple fait de revenir a la définition. Pense qu'une fonction strictement monotone sur un intervalle est injective. Il y a un petit détail a régler en 0 mais rien de bien méchant.

Salut Luc !

Oh, je n'aurais pas eu le réflexe de regarder de ce côté-ci ! Je retiendrai cette astuce dans le cas des fonctions à valeurs de R dans R !

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Je considère E l'ensemble des fonctions définies et continues sur à valeurs réelles.
Je considère F l'ensemble des fonctions dérivables sur dont la dérivée est continue sur
Pour f appartenant à E, on note L(f) la primitive de f sur qui s'annule en 0.

Je dois montrer que L n'est pas surjective.
Pour cela, je veux montrer qu'il existe une fonction de F telle que :
n'a pas de solution f ou a une solution f n'appartenant pas à E.
Mais je n'arrive pas à trouver d'exemple...