Matrice et applications linéaires

[Thomas Joseph]

Je ne comprends pas bien ta question, je pense que la réponse est non, puisque cette famille de trois vecteur est supposée libre par l'énoncé,

mais il faudrait pour en être sûr, que tu nous écrives ta démonstration, ou que tu précises ta question

[emmy1977]

Dans la question on nous dit de montrer que si (u,v,f(u)) est libre alors (u,v,f(u),f(v)) l'est aussi donc pour l'instant j'ai essayé de démontrer que (u,v,f(u)) est libre donc j'ai essayé de faire un raisonnement analogue à celui de la quetion 2)a) :
au+bv+cf(u)=0 <=> au+bv+cAu=0
Je multiplie par A :
aAu+bAv+cA²u=0
<=> aAu+bAv-cU=0 (en utilisant l'hypothèse sur A)
Au= (cU-bAv)/a)
On a donc : au+bv+c(cu-bAv/a)u=0 <=> au+bv+(c²u-bcAv/a)u=0
J'ai arreté là car je pense que mon raisonnement ne mène à rien.

[Thomas Joseph]

Il ne faut pas démontrer que (u,v,f(u) libre : c'est une hypothèse de la question.

Essaye maintenant de compléter le raisonnement que je t'ai proposé précédemment.

[emmy1977]

Ok je vais essayer de compléter alors :

Si d = 0 on a au+bv+cf(u)=0 or on a comme hyposthèse que (u,v,f(u)) est une famille libre ce qui voudrait dire que a, b et c sont nuls donc on aurait une contradiction avec l'hypothèse que a,b,c et d sont non tous nuls.

Si d non nul :
on a : au+bv+cf(u)+df(v)=0 (égalité 1) <=> au+bv+cAu+df(v)=0
On isole f(v) :
f(v)= (-au-bv-cAu)/d
Je remplace dans l'égalité 1 :
au+bv+cf(u)-au-bv-cAu = 0 tout s'annule donc pb ?

[Thomas Joseph]

Ok je vais essayer de compléter alors :

Si d = 0 on a au+bv+cf(u)=0 or on a comme hyposthèse que (u,v,f(u)) est une famille libre ce qui voudrait dire que a, b et c sont nuls donc on aurait une contradiction avec l'hypothèse que a,b,c et d sont non tous nuls.

Si d non nul :
on a : au+bv+cf(u)+df(v)=0 (égalité 1) => (en composant par f) af(u)+bf(v)-cu-dv=0 ( égalité 2)
On isole f(v) dans l'égalité 1:
f(v)= (-au-bv-c(f(u))/d
on remplace dans l'égalité 2,
cette égalité ne contient plus que u, v, f(u), donc les trois coefficient devant u, v,et f(u) sont nuls (car la famille u, v, f(u) est libre)
on obtiens alors par un calcul que b²+d²=0 donc d=0 ce qui est contradictoire.

Proposition de correction en rouge ci-dessus
Remarques :
- ne mélange pas dans une même équation des fonctions (f) et des matrices (A)
- je pense qu'il y a une manière bien plus élégante de traiter la question mais je ne l'ai pas trouvée, quelqu'un d'autre sur le forum la proposera peut-être.

[emmy1977]

Ok merci pour la correction. Comme approche de la question je pensais peut etre utiliser les valeurs propre et la les déterminant... mais je n'ai pas trouvé
Moi je n'obtiens pas b²+d²=0 par le calcul mais -dv=0 je me suis trompée encore peut ˆetre.

[Thomas Joseph]

Ok merci pour la correction. Comme approche de la question je pensais peut etre utiliser les valeurs propre et la les déterminant... mais je n'ai pas trouvé
Moi je n'obtiens pas b²+d²=0 par le calcul mais -dv=0 je me suis trompée encore peut ˆetre.

J'obtiens pour le coefficient devant v : -b²/d-d
donc -b²/d-d=0
donc b²+d²=0

[emmy1977]

Ah oui ok merci beaucoup ˆˆ Je pense qu'il doit y avoir plus direct mais je ne trouve pas donc pour l'instant je garde ça vu que je l'ai compris.
Je vais réfléchir à la 2)c) maintenant.

[Thomas Joseph]

Par l'absurde, assez rapidement (sans calculs)

[emmy1977]

Il faut utiliser les dimensions des famille libres ?

[Thomas Joseph]

Oui, la dimension maximale
dans ce cas : 3

[Manny06]

Il faut utiliser les dimensions des famille libres ?

suppose qu'il existe f répondant à la question
soit u non nul
u,f(u) est libre dans R³ toute partie libre de 2 vecteurs peut être complétée en une base

[emmy1977]

Je suis perdue là je ne vois pas pourquoi si n=3 la relation n'est pas vérifiée. Puisqu'on a une famille libre de dimension 3 qui est (u,v,f(u)).

[Thomas Joseph]

Supposons qu'une telle matrice existe en dimension 3.

Comme l'a dit Manny,
soit u non nul.
on a montré que u,f(u) est libre
on peut compléter cette famille en une base de R3 par un vecteur v (théorème du cours)
donc on a une base u,f(u),v
donc d'après la question 2) : u,f(u),v, f(v) est libre dans R3, ce qui est impossible.
Notre hypothèse de départ est contredite.

[Manny06]

Supposons qu'une telle matrice existe en dimension 3.

Comme l'a dit Manny,
soit u non nul.
on a montré que u,f(u) est libre
on peut compléter cette famille en une base de R3 par un vecteur v (théorème du cours)
donc on a une base u,f(u),v
donc d'après la question 2) : u,f(u),v, f(v) est libre dans R3, ce qui est impossible.
Notre hypothèse de départ est contredite.

si tu préfères on ne peut trouver une famille libre de 4 vecteurs dans un espace de dim 3

[emmy1977]

Je comprend ce que me dit Manny et Thomas aussi mais j'ai un problème avec le raisonnement par l'absurde ; à un moment on a :
on peut compléter cette famille en une base de R3 par un vecteur v (théorème du cours)
donc on a une base u,f(u),v Jusque là ok
donc d'après la question 2) : u,f(u),v, f(v) est libre dans R3, ce qui est impossible.
Notre hypothèse de départ est contredite.
Après je comprends pas pourquoi on a ajouté f(v) et surtout on dit que c'est impossible que la famille (u,v,f(u),f(v)) soit libre dans R3 alors que c'est ce que l'on a déduit dans la question 2)b)

[Thomas Joseph]

On rajoute f(v), justement pour arriver à une contradiction, c'est le principe d'un raisonnement par l'absurde :
"Si A implique B et que B est faux alors c'est que A est faux." (ici A et B sont des propriétés, pas des matrices.)

Si la matrice A existe dans R3, cela entraine qu'une famille libre de 4 vecteurs existe dans R3. Cela est faux donc la matrice A n'existe pas.

[emmy1977]

Ah oui d'accord je n'avais pas vu qu'à la b) quand on dit que la famille (u,v,f(u),f(v)) est libre, on est pas dans R3, ce ne sont que u et v qui appartiennent à R3. Parce que sinon ça aurait fait une famille de 4 vecteurs libre dans R3 et je comprenais plus rien là :doh: XD

Ok merci j'ai compris mais j'ai vraiment du mal avec les raisonnements par l'absurde je ne suis pas du tout habituée à en faire. Mais au final ça peut etre très pratique pour démontrer.

[Thomas Joseph]

A la question b on était déjà dans R3 et effectivement on avait trouvé une famille libre de 4 vecteurs ce qui était impossible.
Restait alors à savoir quelle était l'hypothèse contredite : l'existence de A ou l'existence de u,v,f(u) libre
A la question c, en créant u,v,f(u) libre on a pu conclure que c'était l'hypothèse "existence de A qui était fausse.

Effectivement, le raisonnement par l'absurde peut-être un très bon outil.

[emmy1977]

Donc à la question b) je suis censée dire que le fait de trouver la famille libre (u,v,f(u),f(v)) dans R3 est impossible ?