Applications linéaires telles que f²=-Id

[benekire2]

Bonjour ,

J'ai un petit problème sur un exercice , je dois trouver toutes les applications linéaires vérifiant (dimension finie) , donc avec un coup de déterminant j'ai montré que déjà la dimension est paire.

Je dispose ainsi d'une base de mon espace vectoriel. Sauf que je ne sais pas quoi en faire :mur:

Quelqu'un pourrait-il m'aider a résoudre cette question ?

Merci !

[benekire2]

Salut

Le problème c'est que je ne connais pas du tout le Lemme des noyaux et que j'ai trouvé l'exo dans un bouquin de sup. Il doit y avoir un truc vachement élémentaire.

Mais merci tout de même !

[Nightmare]

Salut!

Au pire tu n'as pas la correction dans le bouquin?

Sinon il est aussi important de préciser sur quels ev (départ et arrivée) tu considères ton application linéaire.

Tu peux remarquer ensuite que si f vérifie l'énoncé, sa transposée aussi.

[benekire2]

Salut nightmare !

En fait c'est pas vraiment un "bouquin" mais plutôt des feuilles d'exos.Sinon, f est un endomorphisme linéaire donc de E dans E, E étant un espace vectoriel de dimension paire.

Bon, je vais essayer de voir si en jouant avec la transposée on peut arriver a avoir l'image de la base (ou d'une base) par f.

[Nightmare]

Oui mais qui est E ? Si E=R ou E=C déjà, la réponse n'est pas la même !

[benekire2]

Ah oui pardon, E est un R-espace vectoriel. :zen: désolé ,

[Nightmare]

Ok,

dans ce cas, pour n=2 quelles applications trouves-tu ? Une fois ceci dit, tu devrais pouvoir conjecturer la forme générale des solutions et montrer le résultat par récurrence sur la dimension.

[benekire2]

Ok,

dans ce cas, pour n=2 quelles applications trouves-tu ? Une fois ceci dit, tu devrais pouvoir conjecturer la forme générale des solutions et montrer le résultat par récurrence sur la dimension.

Pour n=2 je trouve les applications : avec (e1,e2) une base de E , e1 --> e2 et e2 -->-e1 et puis e1 --> -e2 et e2 --> e1

Donc je conjecture que pour tout k entre 1 et p , avec (e1,...e2p) une base de E , f(ek)=e_(p+k) reste à le montrer par récurrence. Je pense que en faisant une restriction sur le domaine de définition, en enlevant 2 vecteurs, on doit pouvoir y arriver.

[Nightmare]

Je comprends pas trop, f(ek)=e_(p+k), pour p=1 on obtient pas ce que tu as trouvé !

Au passage, tu peux représenter f par sa matrice dans la base considérée, ça allégera beaucoup la rédaction.

Et comment trouves-tu le résultat pour p=1 (n=2)

[benekire2]

Je comprends pas trop, f(ek)=e_(p+k), pour p=1 on obtient pas ce que tu as trouvé !

Au passage, tu peux représenter f par sa matrice dans la base considérée, ça allégera beaucoup la rédaction.

Et comment trouves-tu le résultat pour p=1 (n=2)

Bon, tu me connais : pro dans les phrases incomplètes , donc l'application c'est bien f(ek)=e_(p+k) pour k entre 1 et p puis f(e_(p+k))=-e_k qui est bien ce que j'ai trouvé ( enfin a transposée près).

Pour le cas n=2 j'ai fais ainsi f(e1)=f1=ae1+be2 et f(e2)=f2=a'e1+b'e2 et deux trois équations plus loin on a ce qu'on veut, en écrivant fof(e1)=-e1 et fof(e2)=-e2

Donc pour la démo par récurrence tu me propose de tout mettre en matrice , allons y !

PS. Est-ce que tu pourrais jetter un oeil ( enfin si tu le veut bien .. ) à l'exo de l'autre jour stp ? Merci :id:

[Nightmare]

Ok,

moins calculatoire, vu qu'on est sur un R-ev, et qu'on demande une racine carrée de "-1" sur cet espace, l'idée première qui vient est de faire un lien avec la non-existence de racine carrée de -1 dans R. Ici, cela se traduit par le fait que notre endomorphisme ne peut avoir de valeur propre réelle, ou autrement dit, pour un vecteur x arbitraire, que la famille est libre (sur R).

Dans le cas n=2, c'est du coup une base, et rien de plus simple que de décrire f dans cette base : c'est exactement , comme tu l'avais trouvé.

A généraliser dans cette idée.

[benekire2]

ok, je pense voir comment faire :we:

Merci :lol3: