Applications Linéaires

[couette-couette]

Est-il juste de faire ceci :

fof = M.M =
-1 0 0 0 = -Id(R^4)
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1

Donc f=M

?

[Finrod]

On écrit pas d'agalité entre une application linéaire et une Matrice, ce sont deux objets différents.

[Arnaud-29-31]

Oui ... un endomorphisme n'est pas égal à une matrice, un endomorphisme est représenté par une matrice dans une certaine base ...

[couette-couette]

Est-il correct alors de conclure que f(x) = M.x pour la question d) ?

[Finrod]

Il y a deux formalismes. f(x) et M.X, c'est la meme chose, mais écrit dans deux formalismes différents.

Par ex

ou X et Y sont des vecteurs colonnes.


Trouver f signifie trouver les application qui vérifie cette formule. Si tu prend l'application nulle, elle vérifie pas pourtant elle a aussi une matrice associé, la matrice nulle.

Edit : ton M est une matrice solution, un endomorphisme solution est son endomorphisme associé.
Pour trouver toutes les solutions, ils faut penser au formule de changement de base.

[couette-couette]

Je ne comprends pas bien.

Il faut que j'utilise : M(f,R^4)=P(-1).M(f,B).P ?

[Finrod]

Oui.

Tu dis, soit M une matrice solution, alors il existe une base B tel que (M,B) soit de la forme de la question c, donc il existe P inversible telle que M=P^{-1}(M,B)P.

Là, tu as toutes les solutions.

(Je pense qu'il faut aussi vérfier la réciproque, i.e. is M est de cette forme, alors M²=-Id )

Les endomorphismes solutions sont ceux associés à ces matrices.

[couette-couette]

Oui, mais dans ce cas là, que vaut P ? Ça me bloque.

[Finrod]

C'est la réciproque (Si M est de cette forme, alors M²=-Id ) qui peut éventuellement donner une condition sur P.

Or ça marche pour tout P.

Donc la condition sur P, c'est juste que ce soit une matrice inversible.

[couette-couette]

On peut donc prendre P = base canonique ?

[Finrod]

Peux-tu m'expliquer ce que signifie pour toi une égalité entre une matrice et la base canonique ?

[couette-couette]

Si on peut prendre P quelconque (unique condition : P inversible), alors si on prend :
P = 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

ça marche non ?

Ou alors j'ai pas compris...

PS : je pense que c'est la 2ème option ! :help:

[Finrod]

On te demande toutes les solutions normalement. Donc pour chaque P, tu as une solution, mais tu les veux toutes, un ensemble de solutions.

Donc ce P là et touts les autres, c'est ton ensemble de solution.

Maintenant, j'ai relu la question, tu as dit "trouver f" et pas "trouver tous les f" donc vérifie et fais en fonction.

Si on te demande toutes les solutions, c'est tous les P, sinon, non.

[couette-couette]

Oui, c'est bien "Déterminer f appartenant à End(R^4) tq fof = -Id (R^4)"

[couette-couette]

Il n'y a donc qu'une seule solution pour f.

Et dans ce cas là, on doit avoir un P bien particulier non ?

[Finrod]

Je pense quand meme qu'ils veulent toutes les solutions. Sinon ils auraient dit "déterminer une fonction telle que" .

Si on suit une logique standard, il faut trouver tous les f. surtout en prépa.

Mais bon, tu les as maintenant.


Dans le doute, je te conseille vraiment de faire la solution la plus exhaustive.

Après, si c'est pas noté, tu peux aussi attendre la correction.

[couette-couette]

Pour P, on doit prendre :

P= a b c d
e f g h
i j k l
m n o p

?

Ou alors je dois trouver toutes les matrices tq M.M = -Id(R^4) ?

Je patauge ...

[Finrod]

Non, tu n'es pas obligé d'indicer ta solution par des nombres réel.

Tu peux l'indicer par des matrice.

Solutionstel que tel que

où M est la matrice de la question c) et N varie.

[couette-couette]

Ok.

Donc si je résume, la solution c'est :

f admet toutes les solutions telles que : tel que tel que

et tq : N.N = -Id

C'est ça ?

[Finrod]

C'est pas "f" qui admet des solutions, c'est l'équation N²=-Id !

Du coup, pas besoin de le rajouter à la fin.

Je crois que tu t'enmelles un peu les pinceau avec ces histoire de matrice, d'équation, d'application linéaire. essai de bien clarifier le cours dans ton esprit.

Tu peux donner les solutions osus forme matricielle, ou bien sous forme d'application linéaire, auquel cas, il faut remplacer les matrices par leur application linéaire associées.

Autre remarque -N.N=Id n'a pas de sens, encore une fois. C'est la matrice unité et son endomorphism associé est Id