Caractérisation d'applications

[thomasg]

Même si elle est classique, c'est une belle démo Lierre. Merci de t'y être penché.

Et même si elle est classique, il faut un peu de pratique pour y penser immédiatement (moi je n'y aurai pas pensé).

A part erreur de ma part (ce qui serait bien naturel), il y a deux points de détail qui me semblent à modifier:

Au début de la première étape
int de a à b(f(x+y²)-f(x^0,5)²)dx=f(y)²(b-a)

A la fin de la première étape:
donc si f est non nulle alors elle ne s'annule pas
la fin de la première étape change donc un peu.

[Lierre Aeripz]

Merci pour les fautes, je vais corriger.

Sinon, ce n'est pas précisément cette exo qui est classique, mais la méthode : intégrer pour dériver. Elle s'applique à plein d'équations fonctionnelles, comme celle que j'ai proposé juste au dessus, à partir du moment où on a la continuité.

[xunil]

J'aurais besoin d'une petite explication par rapport à la croissance de f:

f(x^2 +y^2) - f(x^2) = f(y)^2>=0 donne f croissante sur R +

D'accord, mais on a que si f(0)=0 et pas nécessairement si f(0)=1/2 , non ?

f(x²+y²)-f²(x)=f²(y)>0 donc f est croissante sur R+

Je suis d'accord avec la relation , mais en quoi prouve-t-elle la croissance de f sur R+ ?

[fahr451]

j 'étais comme toi dans le cas f(0) ) =0 en effet

[xunil]

Donc on est bien d'accord pour dire que nulle part on a démontrer la croissance de f dans le cas général, mais seulement si f(0)=0.
Or , dans son raisonnement , flodelarab se sert de la croissance de f dans le cas f(0)=1/2 :

Dans le cas f(0)=1/2.......Comme la fonction f est croissante sur R+, f(x)=1/2

Ainsi que Lierre (dans le cas f(0)>0) :

1er cas.
Alors , par croissance de f (merci Fahr).

???

[Lierre Aeripz]

Corrigé.
(Et il faut que j'écrive plus de 10 caractères...)

[xunil]

Lierre, j'aurais besoin de précisions pour ta démo (la seconde étape), si t'as le temps:

Pour la seconde étape. On fixe y. Puis on dérive les fonction et . Comme ces deux fonctions sont égales, leur dérivées sont égales.

D'accord, mais tu dis :

Seconde étape.......
En dérivant par rapport à y, .

et tu conclues sur la dérivée seconde par rapport à x ?? Je ne comprends pas ce passage. Si tu veux la dérivée seconde par rapport à x, tu dois dériver 2 fois par rapport à x, et pas une fois par rapport à x, puis par rapport à y. Peux-tu m'expliquer ?

[Lierre Aeripz]

Que la variable s'appelle x ou y ne change rien. Il en s'agit pas ici de dérivées partielles.

Après un première déraivation, on obtient .
Mais si tu préfère, on peut écrire . Il suffit d'échanger les noms.
Utilisons la seconde expression. Fixons y.
On a égalité entre les applications et . Mais la seconde application est bien évidemment constante, donc de dérivée nulle. Il en est donc de même pour la première.
D'où, .

[xunil]

Merci pour l'explication. C'est clair maintenant.