par Anonyme » 28 Juil 2005, 21:05
si g°f est bijective, f est injective et g surjective
et bien, si g°f est bijective, elle est injective et donc tu peut appliquer tel quel le resultat "si g°f est injective, f est injective" et t'obtiens f injective (sinon tu recopies la demo de ce resultat)
Soit dit en passant, l'injectivité se montre (en general) en posant f(x)=f(y) et en en deduisant (selon les hypotheses) que forcement on doit avoir x=y
Pour ce qui est de la surjectivité la méthode générale (une des, si ce n'est la, plus courrante(s)) est de prendre un élément quelconque de l'ensemble d'arrivée de l'appli, disons y, et de chercher un point de l'ensemble de départ x tel que son image soit y, i.e. tel que f(x)=y.
Ici, par exemple, on suppose que f part de A va dans B et que g part de B et va dans C, on prend donc y quelconque dans l'ensemble d'arrivée de g qui est C, on utilise les hypothèses: g°f est bijective, donc elle est surjective, donc il existe x dans A (son ensemble de depart) tel que g°f(x)=y.
Or g°f(x)=g(f(x)), on s'apercoit par consequent que l'element f(x) est un antecedant de y par g (ie g( f(x) )=y) donc l'element y admet un antecedant par g.
y etant quelconque cela signifie que g est surjective (tout elemnt de l'ensemble d'arrivée admet un antecedant)
j'ai fait un effort d'explication pour la pedagogie et j'espere que toutes ces explications qui se veulent eclairantes ne compliquent pas en fait l'histoire