Caractérisation d'applications

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Bodyboard.Pro-Rider>Vert
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Caractérisation d'applications

par Bodyboard.Pro-Rider>Vert » 14 Juin 2007, 13:50

Bonjour,voila j'aimerai bien savoir comment résoudre cet exercice:

Caractériser les applications f:R+->R telles que pour tout x,y on ait:
f(x^2+y^2)=f(x)^2+f(y)^2

merci...



thomasg
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par thomasg » 14 Juin 2007, 14:37

As-tu déjà avancé, ou as-tu des idées de recherche ?

Bodyboard.Pro-Rider>Vert
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par Bodyboard.Pro-Rider>Vert » 14 Juin 2007, 14:40

A vrai dire j'ai aucune idée....

Flodelarab
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par Flodelarab » 14 Juin 2007, 14:51

f(0^2+y^2)=f(y^2)=f(0)^2+f(y)^2
f(0)=f(0^2)=f(0)^2+f(0)^2=2f(0)^2

on veut donc 2f(0)^2-f(0)=0 <=> f(0)[2f(0)-1]=0
Soit f(0)=0, soit f(0)=1/2

thomasg
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par thomasg » 14 Juin 2007, 14:54

Ce sont deux conditions nécessaires mais non suffisantes, on n'a pas répondu à la question.

Bodyboard.Pro-Rider>Vert
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par Bodyboard.Pro-Rider>Vert » 14 Juin 2007, 14:56

Oui mais ca donne quoi sur le type d'applications qui vérifient cette égalité??
Je suis d'accord avec thomasg.

sue
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par sue » 14 Juin 2007, 15:04

Bonjour,

excusez moi , on entend quoi exactement par caractériser une application ?

merci

Bodyboard.Pro-Rider>Vert
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par Bodyboard.Pro-Rider>Vert » 14 Juin 2007, 15:08

Justement j'aimerai bien savoir.....
A mon avis ca doit etre genre automorphisme ,ou application croissante ou décroissante etc......

thomasg
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par thomasg » 14 Juin 2007, 15:09

On entend: donner une condition nécessaire et suffisante pour q'une fonction f soit de cette forme.

sue
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par sue » 14 Juin 2007, 15:17

ok merci celà confirme ce qu'a été dit avant !

xunil
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par xunil » 14 Juin 2007, 20:39

Une petite info en plus:
pour x=y, on a:
D'où, pour tout x dans R+, ie pour tout x de R+
D'où: pour tout n entier naturel.
Dommage qu'on ai rien dans les hypothèses sur la continuité de f en 0 ...

thomasg
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par thomasg » 14 Juin 2007, 21:57

Tu donnes une information interessante, mais on avance peu sur la condition suffisante,
j'ai un peu cherché graphiquement mais pour l'instant sans succès.

Quelqu'un a une idée ?

Bodyboard.Pro-Rider>Vert
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par Bodyboard.Pro-Rider>Vert » 15 Juin 2007, 01:21

Merci quand meme je crois que je ne pourrai point résoudre cet exercice.....

xunil
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par xunil » 15 Juin 2007, 02:51

"Bodyboard" a écrit:Merci quand meme je crois que je ne pourrai point résoudre cet exercice.....

Non, n'abandonne pas si vite:
on a donc: pour tout x de R+, et pour tout n, .
et donc, nécessairement, comme f est définie en x,
Or, d'après un post précédent, f(0)=0 ou 1/2.
Si f(0)=0, alors f est continue en 0 car
Bon...et après me direz vous...je sais pas, il est tard.

fahr451
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par fahr451 » 15 Juin 2007, 03:58

xunil a écrit:Si f(0)=0[/B], alors f est continue en 0 car



est ce si clair la continuité en 0 ?
il faut le résultat a priori pour toute suite x(n) de limite 0 et non pas seulement pour les suites x/2^n
f(x^2) = f(x)^2 + f(0)^2 = f(x)^2 donne f positive sur R +

puis f(x^2 +y^2) - f(x^2) = f(y)^2>=0 donne f croissante sur R +

donc f a une limite en 0+ qui vaut donc f(0)d'après ce qui précède
et la continuité à droite en 0

la dérivabilité à droite en 0 n 'est pas acquise hélas

xunil
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par xunil » 15 Juin 2007, 04:31

Exact.
Donc si f est continue à droite en 0, on a donc pour tout x positif,
et donc comme , on a nécessairement pour tout x de R+ par passage à la limite en n,
Et les seules fonctions constantes qui répondent au problème sont 0 et 1/2.

thomasg
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par thomasg » 15 Juin 2007, 09:31

Si f(0)=1/2

alors f(x)=(lim +inf 2^n)*f(0)=+inf

donc f(x)=+inf pour tout x. La fonction constante 1/2 n'est donc pas valable.

Il nous reste la fonction constante égale à 0.

Je doute (sans justification) que la seule solution au problème soit la fonction nulle.

thomasg
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par thomasg » 15 Juin 2007, 10:08

Après un peu de réflexion je crois avoir trouvé ton erreur xunil

on a f(x²)=2f(x)² et non f(x²)=2f(x²) comme tu l'écris.

On est donc presque reparti à 0:

deux fonctions constantes sont solution.
continuité en 0+.

nico74
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par nico74 » 15 Juin 2007, 11:44

thomasg a écrit:Après un peu de réflexion je crois avoir trouvé ton erreur xunil

on a f(x²)=2f(x)² et non f(x²)=2f(x²) comme tu l'écris.



fahr451
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par fahr451 » 15 Juin 2007, 11:47

thomasg a écrit:Après un peu de réflexion je crois avoir trouvé ton erreur xunil

on a f(x²)=2f(x)² et non f(x²)=2f(x²) comme tu l'écris.

On est donc presque reparti à 0:

deux fonctions constantes sont solution.
continuité en 0+.

et oui et moi j'ai pris comme acquise la relation de xunil ...

 

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