Auriez vous des idées de comment résoudre cet exercice qui me pose une colle depuis un moment ?
Soit
Montrer que
déduire que
Applciations linéaires
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Applciations linéaires
par ArtyB » 23 Nov 2015, 07:51
Bonjour,
Auriez vous des idées de comment résoudre cet exercice qui me pose une colle depuis un moment ?
Soit
une application linéaire entre espaces de dimension finie. On définit 
la transposée de f par  = h \circ f)
pour tout h de W*.
Montrer que = Ker(f)^{\perp})
, et en
déduire que = rg(f))
.
Auriez vous des idées de comment résoudre cet exercice qui me pose une colle depuis un moment ?
Soit
Montrer que
déduire que
par ArtyB » 23 Nov 2015, 09:46
Je crois avoir trouvé:
On af))
et ^\perp)
deux sev de 
.
Si v appartient à)
, il existe u dans tel que
=u\circ f)
.
Soit x dans Ker(f), alors on a :
= = = =0,
donc v appartient à^\perp)
et on a  \subset (Ker(f))^\perp)
.
On a)^\perp +dim(Ker(f))=n)
donc)^\perp=dim(Im(f)))=dim(Im(^t f))))
.
Et comme \subset (Ker(f))^\perp)
,
On a légalité demandée, i.e.=(Ker (f))^\perp)
Si=dim(V^*)=n)
et =dim(W^*)=p)
,
alors on a :^\perp) + dim(Im(f))=p)
,
et:)+dim(Im(^t f))=p)
,
Donc puisque)
et )^\perp)
sont égaux,
on a:)=dim(Im(^t f)))
, i.e. f et f)
ont le même rang : 
.
On a
Si v appartient à
Soit x dans Ker(f), alors on a :
= = = =0,
donc v appartient à
On a
donc
Et comme
On a légalité demandée, i.e.
Si
alors on a :
et:
Donc puisque
on a:
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