Systèmes linéaires - Déterminant

[Ben314]

Salut,
Une réponse plus astucieuse à la question est de dire que, comme lorsque c est distinct de b, on a et que c'est une fonction continue en c (pour a,b fixés) car c'est... un polynôme en c, ben pour avoir la valeur lorsque c=b, il suffit de faire tendre c vers b dans la formule (ce qui demande aussi un peu de calcul...)

[benekire2]

Ok merci du complément ben :we:

Sinon pour le déterminant que tu m'as donné a calculer j'ai un problème avec la méthode où l'on cherche les vecteurs colones X qui sont dans le noyau de A , je vois pas comment on va faire , :doh:

Merci ,

[benekire2]

Généralisation au calcul de (avec disons A et C qui commutent) ?

Je te répond, avec du retard certes , cela vaut det(AD-BC) et l'hypothèse A et C qui commutent n'est pas superflue.

[Ben314]

Si tu note M la matrice :
b a 0 0 ... 0
c b a 0 ... 0
0 c b a ... 0
. . . . . .
0 ... 0 c b a
0 ... 0 0 c b
Et que tu écrit que, pour un vecteur X=(x1 x2 ... xn) (en colonne) on a MX=0, cela peut se réécrire
c.x(k-1)+b.xk+a.x(k+1)=0 pour tout k de {1..n}
avec x0=0 et x(n+1)=0.
Or c'est une formule de récurrence double lorsque c et a sont non nuls (si un des deux est nul, le déterminant est évident...) et on sait dans ce cas exprimer xk en fonction de k et des valeurs initiales (ici x0=0 et x1=?).
Reste à voir ce que dit la condition x(n+1)=0 : si cette condition implique que tout les xk sont nuls, cela signifie que le noyau est réduit à 0 et donc que le déterminant est non nul ; si cette condition n'implique pas que tout les xk sont nuls alors le déterminant est nul...

[benekire2]

Ok je perçois mieux le truc, évidemment si a ou c est nul le déterminant l'est aussi puisque ce sera le déterminant d'une famille liée.

Je réfléchis a tout ça ce soir. Merci :we:

[Skullkid]

Attention, si a ou c est nul, le déterminant vaut (matrice triangulaire).

[benekire2]

Attention, si a ou c est nul, le déterminant vaut (matrice triangulaire).

Oui bien spur ... j'avais cru lire :
c 0 0 0 0 ... 0 0
0 b a 0 0 ... 0 0
0 c b a 0 ... 0 0
0 0 c b a ... 0 0
. . . . . .
0 0 ... 0 c b a 0
0 0 ... 0 0 c b 0
0 0 ... 0 0 c b a

qui m'aurait donner raison, mais j'ai dû loucher :id:

[BUD]

Bonjour à tous,

je viens m'immiscer dans la discussion car je viens de choper un truc intéressant.

voilà l'idée:
on considère n vecteurs à n composantes chacun.

on forme un produit de n facteurs , le plus injectif possible,
en "piquant" une coordonnée à chaque vecteur...

ça donne une forme (application à valeurs dans le corps de base)
qui n'est pas linéaire, qui n'est pas bilinéaire

mais n-linéaire (linéaire sur chaque vecteur)

ensuite, on peut saturer ce produit de deux manières:
soit en construisant une forme symétrique (on compléte sur l'ensemble
des permutations des indices de coordonnées par symétrie)

soit de manière antisymétrique,.. on obtient un déterminant.
Cette somme a alors des propriétés subtiles, en particulier elle est alternée
et permet:
- de tester l'indépendance linéaire des vecteurs
- fait office de "forme "volume" en géomètrie
par ex, le déterminant de deux vecteurs est l'aire du parallèlogramme
construit sur ces deux vecteurs
- et de définir une orientation de l'espace

Je suis dans les mathématiques mais de manière amateur hein. Mon problème est le suivant. Lorsqu'on prend n'importe quel cours sur les matrices et les déterminants on trouve toujours les mêmes choses. Fort bien mais avant que je n'accepte d'aller plus avant, je souhaite savoir comment on construit avec les mimines un déterminant si on n'a pas la formule. Autrement dit, qu'elle est l'idée cachée derrière le déterminant ? C'est ce qu'expose Busard des Roseaux et que j'aimerais voir un peu plus précise. Après avoir n vecteurs avec n composantes je ne comprends pas la construction du déterminant. Qu'entends-tu par

on forme un produit de n facteurs , le plus injectif possible,
en "piquant" une coordonnée à chaque vecteur...

Aurais-tu un exemple avec 3 vecteurs à 3 composantes pour voir lé détail des calculs ?

Merci d'avance.

BUD