Complexes

[Chuck35]

Je n'arrive pas à résoudre le problème suivant.

Déterminer l'ensemble des points d'affixe z tel que les points d'affixes 1, z et z^3 soient alignés.

J'aimerais bien un petit coup de main.

[girdav]

Bonjour,
si on note le point d'affixe , le point d'affixe et le point d'affixe il faut que les vecteur et forment un angle plat. Vois-tu ce que cela entraîne pour ?

[Chuck35]

J'ai essayé de faire ça déjà mais ça n'a abouti à rien.

[girdav]

a pour affixe et a pour affixe . L'angle formé par ces deux vecteurs est l'argument du nombre complexe . Après, tu peux poser et trouver des conditions sur et .

[Chuck35]

Je n'arrive pas à passer de (z^3-1)/(z-1) à z^2+z+1.

[girdav]

Dans ce cas calcule .

[Chuck35]

Effectivement.
Pour que l'angle soit plat, il faut que arg(z^2+z+1)=0, c'est à dire que z^2+z+1 soit un réel. En remplacant z par a+ib j'ai trouvé que z^2+z+1=(a^2-b^2+a+1)+i*(2ab+b). Il faut donc que 2ab+b=0 et j'ai trouvé qu'il fallait que b=0 ou que a=-1/2. Je suis d'accord pour b=0 mais pas pour a=-1/2.

[girdav]

Oui, pour on récupère tous les réels. Maintenant, on essaie de voir s'il y a des solutions non réelles, donc des nombres qui s'écrivent avec . On doit avoir et peut être quelconque. Il reste à vérifier que les nombres de la forme , sont solution.

[Chuck35]

Si on prend a=-1/2 et b tel que teta=2*pi/3 alors le point image de z^3 appartient a l'axe des réels donc les points ne sont pas alignés.

[Black Jack]

Si on prend a=-1/2 et b tel que teta=2*pi/3 alors le point image de z^3 appartient a l'axe des réels donc les points ne sont pas alignés.

Mêne le calcul jusqu'au bout.

Certes on trouve, dans ces conditions que z³ est réel ... Mais plus précisément, on trouve z = -1/2 + (V3/2).i et alors z³ = 1

Donc le point d'affixe z³ est confondu avec celui d'affixe 1 et ces 2 points confondus sont évidemment alignés avec un quelconque point du plan complexe et donc aussi avec celui d'affixe z.

:zen:

[romi64]

Bonjour, sinon pour montrer que trois points soient alignés on montre que les vecteurs sont colinéaires et pour cela on se sert du déterminant ( la relation xy' - yx' = 0) mais ça parait peut être plus difficile en se ramenant en cartésien avec x et y..