Foncions complexes

[pau]

bonsoir,
J'essaye de résoudre un exercice, mais j'ai du mal à trouver les bonnes équations.
L'énoncé donne: z=x+iy et exp(z)=exp(x)(cos y +i sin y)
On pose cos (z)=cos(x)ch(y)-i sin(x)sh(y) et sin(z)=sin(x)ch(y)+i cos(x) sh(y).
Je dois trouver l'image par cos et par sin de:
-une droite verticale puis d'une bande verticale
-une droite horizontale puis une bande horizontale

Et ensuite déterminer les domaines d'injectivité de cos et sin. Pour cos, j'ai son domaine d'injectivité.
J'ai vu qu'il y avait des cas particuliers, mais je n'arrive pas à trouver les ensembles rechercher.
Pouvez-vous m'aider?
Merci à tous

[yos]

Bonjour.
Par exemple pour une droite verticale, tu as x fixé et tu poses a=cos x,
b=sin y, d'où chz=achy-ibshy donc chz décrit la courbe paramétrée par
X(t)=a ch t
Y(t)=-b sht
La relation montre que est incluse dans la courbe d'éq. X²/a²-Y²/b²=1 (hyperbole)...

[pau]

D'accord, merci beaucoup, ça m'éclaire, je vais essayer de faire de même pour les autres ensembles. Je me demande par contre si on ne doit pas étudier des cas particuliers, par exemple si l'équation de la droite verticale est x=0 ou x=pi/2?

[yos]

Je me demande par contre si on ne doit pas étudier des cas particuliers, par exemple si l'équation de la droite verticale est x=0 ou x=pi/2?

Si bien sûr : les constantes a et b changent.

[pau]

Merci beaucoup pour vos indications.
J'ai trouvé que l'image d'une droite verticale par sin et par cos est une hyperbole de foyers -1 et 1.
L'image d'une droite verticale par sin et cos est une ellipse de foyers 1 et-1.
Je trouve bizarre que ce soit les memes ensemble, est-ce normal?

Par contre pour les points particuliers j'ai du mal a trouver les ensembles. Pour cos, j'ai pour la droite verticale les droites d'équation x=o[pi] et x=(pi/2)[pi] qui posent problemes
je trouve cos z=ch y ou -ch y pour x=0[pi] mais je ne vois pas du tout quel ensemble est défini par cette équation
je trouve cos z=i sh y ou -i sh y pour x=pi/2[pi] et j'ai le meme probleme

Comment procéder?