Densité

[Fulano]

Bonjour,
Mon intuition me dit que l'ensemble des 2^n/3^m (m et n dans N) est dense dans R+, mais je n'arrive pas à le démontrer.
Quelqu'un a-t-il une idée ?
Merci

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Ma première idée est de passer aux logarithmes.

[Imod]

C'est bien sûr la bonne idée , on peut aussi prendre m et n dans Z pour utiliser ensuite un résultat connu .
Imod

[Fulano]

Je cherche n et m tels que a<(2^n/3^m)<b, pour a et b arbitraires.
Je passe aux logarithmes, et je dois construire n et m tels que :
ln(a)/mln(2) + ln(3)/ln(2) < m/n < ln(b)/mln(2) + ln(3)/ln(2).
Ce qui me semble faisable, mais je ne vois pas précisément comment.
Merci pour votre aide.
P. S. : quel est donc ce résultat "connu" ?

[catamat]

Bonjour

Je pense que l'exercice 2 du lien suivant devrait t'éclairer

https://perso.eleves.ens-rennes.fr/peop ... de%20R.pdf

[Fulano]

Merci beaucoup !
Je n'ai pas encore regardé en détail, mais je pense qu'avec ça je vais y arriver.
Je vous tiens au courant.
Paquito.

[Fulano]

J'ai repris ma recherche sur mon exercice. J'obtiens que l'ensemble des 2^n/3^m est dense dans R*+, pour n et m dans Z. Mais qu'en est-il pour n et m dans N ? Pour ce que je veux en faire, des fréquences musicales, via des divisions de cordes, j'ai besoin que n et m soient positifs.
Merci pour vos idées.
Paquito

[Imod]

Si est un réel strictement positif . On cherche des entiers naturels et tels que soit aussi proche que l’on veut de . En notant et , on est ramené à chercher et pour que puisse approcher autant qu’on le souhaite . Comme les parties fractionnaires de sont denses dans , peut approcher à volonté . Il reste à multiplier par b pour conclure .

Imod

[Fulano]

Bonjour,
Merci pour ta réponse.
Mais d'une part, y/b pourrait ne pas appartenir à [0,1].
Et d'autre part, où est passé le m ?
Ou quelque chose m'échappe ?
Merci.
Paquito

[catamat]

Bonjour

Je pense qu'imod a voulu dire que
peut approcher la partie fractionnaire de à volonté
Donc
approche
ou
approche
et en multipliant par b :
approche

On aurait donc m=

Mais là se pose la question de savoir si m est positif...

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
On passe au logarithme : l'exercice revient à montrer que est dense dans .
Le résultat classique sur les sous-groupes additifs de entraîne que est dense dans , puisque est irrationnel.
Soit et cherchons à approcher par un élément de à moins de donné. D'après le résultat rappelé plus haut, il existe tel que . Le minimum avec sert à s'assurer que ou est dans .
Supposons . et choisissons un entier naturel tel que . Alors il existe un (unique) entier naturel tel que . On a encadré entre deux éléments de distants de moins de , c'est gagné.
Je te laisse gagner dans le cas .