Topologie et calcul différentiel

[Cocoa_lapin]

Bonjour. Je besoin d'aide pour certaines tâches. Je serai reconnaissant

Soit E un espace de Banach. On considere une application g : E ;) E de la forme g = Id + ;), avec ;) de classe C^1 vérifiant
;)D;)(a);) < 1/2
pour tout point a de E. On va montrer que g est alors un C^1-difféomorphisme. Chacune des quatre questions ci-dessous utilise l’un des quatre points rappel ;)es ci-dessus.

1. Montrer que ;) est 1/2-lipschitzienne.

2. Dans cette question, on veut montrer que g est une bijection, autrement dit que pour tout y de E il existe un unique x de E tel que g(x)=y. Fixons un point y de E. a.) En utilisant que g = Id + ;), traduire l’équation g(x) = y, d’inconnue x, en une recherche de point fixe pour une certaine application T : E ;) E. b.) Montrer que T est contractante. c.) Conclure

3. Puisque g est une bijection, elle admet une bijection réciproque g^-1. Montrer que g^-1 est 2-lipschitzienne. L’application g est donc un hom ;)eomorphisme.

4. Montrer que, pour tout point a de E, la diff ;)erentielle Dg(a) est inversible.

5. Montrer que g^-1 est différentiable en tout point b de E.

[Robot]

Oui, eh bien, qu'as-tu fait ?
Le travail est mâché par les questions : la démarche est complètement guidée, sans beaucoup de marge de manoeuvre.

[Cocoa_lapin]

Oui, eh bien, qu'as-tu fait ?
Le travail est mâché par les questions : la démarche est complètement guidée, sans beaucoup de marge de manoeuvre.

Merci pour votre reponse!
J'ai deja fait 1 et 3, mais je ne comprends pas comment je dois faire 2 et 4. Je vous serais reconnaissant si vous m'expliquez

[Robot]

Pour 2, il suffit de suivre le mode d'emploi : étant fixé, écrire sous la forme .

[jlb]

cela ressemble bcp aux étapes de la démonstration du th de Cauchy Lipchitz. Consulte un cours sur les équations différentielles, tu devrais trouver de l'aide.

[Robot]

L'énoncé est suffisamment explicite et directif, sans avoir besoin de chercher ailleurs.

[Cocoa_lapin]

Pour 2, il suffit de suivre le mode d'emploi : étant fixé, écrire sous la forme .

Merci. Je sais comment faire 2 a), mais je ne sais pas comment montrer que T est contractante

[Robot]

Si tu as le bon T, c'est évident avec la question 1. Quel T as-tu ?