Calcul du volume d'un cylindre avec le calcul differentiel

[jankyjack]

Bien le bonsoir, j'essaie de comprendre comment fonctionne la calcul du volume d'un cylindre avec les integrales.

je sais que V = dxdydz. puis on fait un changement de variable en ayant x = rcos; y = rsin et z =h

à partir de là je ne sais pas comment on en vient à la formule .

j'ai lu quelque part que celàse faisait à partir de la matrice de jacobi mais je ne sais vraiment pas comment.

Je vous remercie de m'aider

[Ben314]

Salut,
Lorsque tu as 3 vecteur de R^3, le déterminant (calculé dans une base orthonormé) des 3 vecteur donne, en valeur absolue, le volume du parallélépipède ayant pour base les 3 vecteurs (et le signe du déterminant te dit si le trièdre est direct ou pas) (*).

Ensuite, je te la fait "à la physicienne" (bien plus facile à comprendre) : quand tu fait un changement de variable dans une intégrale en "remplaçant" x,y,z par des formules dépendant de 3 autres variable par exemple r,theta,h (i.e. x,y,z sont des fonctions de r,theta,h), il faut que tu regarde lorsque tu fait une "petite variation" de r,theta,h ce que ça provoque comme variation sur x,y,z pour estimer le volume balayé.
Or, pour une "petite variation", on peut faire une approximation affine des fonction ce qui signifie que lorsque (r,theta,h) va balayer un petit parallélépipède rectangle de coté dr x dtheta x dh, le point (x,y,z) va lui balayer un parallélépipède (à priori non rectangle) dont les vecteurs formant les bases sont les dérivées partielles de (x,y,z) par rapport à chacune des variables r,theta,h.
Le volume de ce parallélépipède sera donc la valeur absolue du déterminant de la matrice dont les coordonnées sont ces fameuses dérivées partielles (matrice appelée "matrice Jacobienne" de l'application (r,theta,h)->(x,y,z)).

Regarde ce que ça donne dans le cas de ton changement de variable.

(*) C'est d'ailleurs une des définition possible du déterminant et si on ne prend pas ça comme définition, c'est bien évidement un truc à savoir dés le début de l'étude des déterminants vu que ça donne une interprétation géométrique "évidente" du déterminant et que ça explique grand nombre des propriétés qu'il a.

[jankyjack]

je vous remercie de votre reponse mais je ne comprends plus à partir de là où vous dites que (t, Theta, h) va balayer un petit parallélépipède rectangle de coté dr * dtheta * dh.

je comprends effectivement la conclusion et je vois déjà plus au moins comment resoudre mon problème, mais je ne comprends bien toute l'explication.

Merci

[Ben314]

je vous remercie de votre reponse mais je ne comprends plus à partir de là où vous dites que (t, Theta, h) va balayer un petit parallélépipède rectangle de coté dr * dtheta * dh.

Ce que j'ai écrit, c'est que :
LORSQUE (t, Theta, h) va balayer un petit parallélépipède rectangle de coté dr * dtheta * dh alors blablabla...
Donc jusque là, il n'y a rien à "comprendre", je vais regarder ensuite ce qu'il se passe pour (x,y,z) lorsque (t, Theta, h) décrit se parallélépipède.
Et ce qui se passe, c'est l'approximation affine des fonctions (i.e. leur développement de Taylors à l'ordre 1) qui le donne : pour "petits" on a

Ce qui signifie que, lorsque décrit ; décrit et décrit , c'est à dire lorsque le point décrit un petit parallélépipède rectangle de volume alors pendant ce temps là, le point décrit (approximativement) un parallélépipède (non rectangle) porté par les vecteurs
Et ce parallélépipède à pour volume

[jankyjack]

Merci pour la réponse!