TS suites et intégrales

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Bonjour,
Je rencontre des difficultés dans mon devoir maison de maths, pourriez-vous m'aider ?

J'ai une fonction définie sur I=]0;+infini[ telle que fn(x)= [(ln(x))^n] / x^2

ETUDE DE f1 (n=1)

1) Etudier les variations et les limites de f1
Ici j'ai dérivé la fonction et trouvé
f'(x) = (1-2ln(x)) / x^3

Raisonnant avec un tableau de signes et de variations, je trouve que f1(n) et croissante sur ]O;e^(1/2)[ et décroissante sur ]e^(1/2);+infini[

Et mes limites sont -infini en 0 et 0 en +infini

2) Prouver que pour tout entier naturel k>=2 : f1(k+1) ==2 par Sp= (ln2 /2^2) + (ln3 / 3^2) +...+ (lnp / p^2)
a: prouver que le suite (Sp) est croissante
b: par un processus de sommation, prouvez que :
Sp - (ln2 / 2^2) =< "intégrale de 2 à p" f1(t)dt =< Sp - (lnp / p^2)

4) Dériver la fonction suivante : f(x)= (1/X).(ln(x))
En déduire une méthode astucieuse pour calculer: "intégrale de 2 à p" (1/x^2)-(ln(x)/x^2)dx puis "intégrale de 2 à p"f1(t)dt

5) Déduire des questions précédentes que (Sp) est convergente

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1) Pour dériver la fonction, je comptais utiliser la formule u/v mais j'arrive à un résultat vraiment barbare en utilisant la formule : (u^n)'= n xu^n-1 x u' soit ici n x (ln(x)^n-1) x 1/x

[capitaine nuggets]

Salut !

2) Soit , ; comment varie dans un intervalle de la forme ?
Déduis-en que pour tout réel , , puis intègre sur ce même intervalle chaque membre de cette inégalité :+++:

3)a) Montre que .
b) Effectue la somme de jusqu'à de chaque membre de l'inégalité obtenue dans la question 2) :

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Pour la 3)a: je me retrouve avec cette inéquation :

[(ln2/2^2)+(ln3/3^3)+..+(lnp/p^2)+(lnp+1/p+1^2)] - [(ln2/2^2)+(ln3/3^3)+..+(lnp/p^2)] > 0

Puis-je affirmer que cette suite "se télescope" et donc au final il ne "reste plus" que (lnp+1/p+1^2)> 0 ?

[capitaine nuggets]

3)a) Montre que .

Pour montrer ca, exprime juste en fonction de :+++:

[6154433426]

Puis-je dire que Sp+1 = Sp + [(lnp+1)/(p+1)^2] ?

On aurait donc Sp+1 - Sp >0 <=> Sp + [(lnp+1)/(p+1)^2] - Sp > 0 <=> [(lnp+1)/(p+1)^2]>0

[capitaine nuggets]

Puis-je dire que Sp+1 = Sp + [(lnp+1)/(p+1)^2] ?

Oui, c'est ça ; après en justifiant que [(lnp+1)/(p+1)^2]>0, tu obtiens Sp+1 - Sp > 0 :++:

[6154433426]

D'accord merci !

Comment déduire que Sp est convergente ?

Et pour la 4° question, j'ai dérivé et trouvé f'(x)=(1/x^2) - xln(x) sauf que je ne trouve pas de "méthode astucieuse"

[capitaine nuggets]

D'accord merci !

Comment déduire que Sp est convergente ?

Et pour la 4° question, j'ai dérivé et trouvé f'(x)=(1/x^2) - xln(x) sauf que je ne trouve pas de "méthode astucieuse"

(S_p) est une suite croissante, quelle condition manque-t-il pour affirmé qu'elle converge ?

Ta dérivée n'est pas bonne : la réponse t'es donnée dans la question : normalement, tu dois trouver comme dérivée pour :++:

Pour le calcul, remarque ensuite que si est la dérivée de , alors une primitive de est .