Exercie alliant suites et intégrales (problème)

par **Nico1608** » 11 Avr 2007, 12:50

Soit la suite Un définie sur N par:
Uo=intégrale de 0 à 1 de 1/racine carrée de (1 + x^2) et pour n supérieur ou égal à 1, Un=intégrale de 0 à 1 de x^n/racine carrée de (1+x^2)

1) Soit f la fontion définie sur 0;1 fermé par :
f(x)= ln(x+racine carrée de (1+x^2)
Calculer f'(x) et en déduire Uo
b) Calculer U1
2) Démontrer sans chercher à calculer Un que (Un) est décroissante.
b) Démontrer que pour tout x appartenant à 0;1 fermé 1inférieur ou égal à racine carrée de (1+x^2) inférieur ou égal à racine de 2
En déduire pour tout n supérieur ou égal à 1, 1/(n+1)racine de 2 inférieur ou égal à Un inférieur ou égal à 1/(n+1)

J'ai tout réussit à part cette la toute dernière. Je bloque encore aux questions suivantes je vous les donnerais plus tard. Merci de votre aide!

par **Flodelarab** » 11 Avr 2007, 13:15

Tu veux démontrer ça :
si

?

par **Nico1608** » 11 Avr 2007, 13:47

oui sauf que la racine de a gauche est au dénominateur

par **Nico1608** » 11 Avr 2007, 13:52

oui sauf que la racine de a gauche est au dénominateur

par **Nico1608** » 12 Avr 2007, 10:58

allo????? pouvez-vous me lancez svp merci

par **emdro** » 12 Avr 2007, 11:03

Salut, d'après ton encadrement précédent, tu peux encadrer x^n/racine(1+x^2) par x^n/racine(2) et x^n. En intégrant (bornes dans le bonsens, ordre conservé), tu tombes directement dsur ce qu'on te demande. Tu connais une primitive de x^n n'est-ce pas?

par **Nico1608** » 12 Avr 2007, 14:32

Une primitive de x^n est 1/n+1 n^n+1

par **emdro** » 12 Avr 2007, 14:34

Nico1608 a écrit:Une primitive de x^n est 1/n+1 n^n+1

Oui, disons 1/n+1*x^n+1 ! Ca marche pour la suite?

par **Nico1608** » 12 Avr 2007, 14:38

Pourqui tu me parle de primitive pour encadrer je comprends pa très bien. J'ai ça x^n/racine de 2 inférieur ou égal à Un inférieur à x^n donc comment je fais pour virer les x^n ?

par **emdro** » 12 Avr 2007, 14:43

Il me semble qu'il faut intégrer pour passer de x^n/rac(1+x^2) à Un, non?
Tu dois donc intégrer chaque membre de l'inégalité, en disant que les bornes sont dans le bon sens, donc l'ordre est respecté. Et là, tu auras l'intégrale de x^n à gauche et à droite. C'est à ce moment que tu auras besoin d'une primitive, et que les x vont disparaitre...
Ne perds jamais de vue le but de ton raisonnement. Ici c'était un encadrement de Un, donc l'avant-dernière ligne c'est un encadrement d'une intégrale. c'est comme ça que tu pouvais y penser.

par **Nico1608** » 12 Avr 2007, 14:43

à c'est bon mais par exemple ca me donne ca a droite -> [ 1/n+1 *x^n+1] 0 à 1 mais le résultat ne fait pas 1/n+1 mais 1/n+1*x^n+1 :s

par **emdro** » 12 Avr 2007, 14:45

Tu ne remplaces pas tes x dans le crochet par 1 puis par 0?

par **emdro** » 12 Avr 2007, 14:46

Pour le message 9, ce n'était pas Un qui était encadré...

par **Nico1608** » 12 Avr 2007, 14:48

1^n+1 je vois pas ce que ca donne :s a gauche c'est pareil il faut utiliser le 1^n+1 Merci pour ton aide

par **Nico1608** » 12 Avr 2007, 14:54

..... je suis tron ... 1^n+1= 1 forcément lol dsl je te poste mais prochaines réponse. Alors c) En déduire que Un est convergente et déterminer sa limite. Donc on sait que Un est décroissante et qu'elle est minorée par 1/(n+1)racine de 2 donc Un est convergente et d'après le théorème des gendarmes lim quand n tend vers + l'infini de Un = 0 ? voilà. Je fais les question suivantes et je vous contacte si ca va pas merci

par **emdro** » 12 Avr 2007, 14:58

Attention, être minorée, ça veut dire par une CONSTANTE, pas un truc en n !
Tu peux dire qu'elle est minorée par 0, et là ça marche. Ou bien tu utilises directement le théorème des gendarmes qui prouve
1. qu'elle converge
2. vers 0, la limite commune aux deux gendarmes!

Je confirme, 1^..., ça fait bien 1!

Bon courage pour la suite.

par **Flodelarab** » 12 Avr 2007, 15:14

emdro a écrit:Attention, être minorée, ça veut dire par une CONSTANTE, pas un truc en n !

BOF.
n n'est pas variable mais donné et non précisé ... on peut très bien trouvé un nombre dépendant de n mais fixe par rapport à x .....

par **Nico1608** » 12 Avr 2007, 15:21

RE: ensuite
In=intégrale de 0 à 1 x^n-2*racine carrée de (1+x^2)

3) Pour tout entier n supérieur ou égal à 3 on a: Un +U(n-2)= In
en faisant Un + U(n-2) je trouve 2/racine carrée de 2 *(n+1)
Comment trouver ensuite une primitive de x^n-2*racine carrée de (x^2+1) ? on fait une intégration par partie? merci

par **emdro** » 12 Avr 2007, 15:25

Flodelarab a écrit:BOF.
n n'est pas variable mais donné et non précisé ... on peut très bien trouvé un nombre dépendant de n mais fixe par rapport à x .....

Pas du tout
Il s'agit ici d'une suite (Un), qui est minorée par une autre suite en n.
Cette suite n'est donc pas a priori minorée.

par **emdro** » 12 Avr 2007, 15:31

Pour Nico,

Oui, une IPP, c'est une bonne idée. Je te laisse chercher un peu.

J'essaierai de revenir sur le forum ce soir.

Bon courage.

Exercie alliant suites et intégrales (problème)

Exercie alliant suites et intégrales (problème)

Qui est en ligne