Suites, intégrales et encadrement

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jehuet
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suites, intégrales et encadrement

par jehuet » 11 Juin 2012, 21:42

Le but de cet exercice est l'étude des suite In et Jn définies par:
pour tout n appartenant à N In = intégrale de 0 à 1 t^n * racine (1+t) et Jn =n In

1) calculer I0.

2) A l'aide d'une intégration par partie calculer I1.

3)Montrer que la suite In est décroissante.

4)grâce à un encadrement de racine (1+t) montrer que pour tout n appartenant à n :
1/(n+1)< In
5) en déduire la limite de la suite In

6) Montrer que pour tout t appartenant à [0,1] 0< racine 2-racine (1+t)< (1-t)/2


Ce que j'ai réalisé comme recherche:
1)
I0= intégrale de 0 à 1 de racine (1+t)
I0= intégrale de 0 à 1 de (1+t)^3/2
I0 = [(1+t) racine (1+t)]0 à 1
I0 = 2 racine de 2

2)
I1= intégrale de 0 à 1 de t^1 racine (1+t)
u = t u' = 1 v = (1+t) racine( 1+t) v' =racine (1+t)
I1 = [t * (1+t) racine( 1+t)]0 à 1 -intégrale de 0 à 1 (1+t) racine (1+t)
I1 = [t * (1+t) racine( 1+t)] 0 à 1 - [ racine (1+t)]0 à 1
I1 = racine 2



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chan79
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par chan79 » 11 Juin 2012, 21:58

jehuet a écrit:Le but de cet exercice est l'étude des suite In et Jn définies par:
pour tout n appartenant à N In = intégrale de 0 à 1 t^n * racine (1+t) et Jn =n In

1) calculer I0.

2) A l'aide d'une intégration par partie calculer I1.

3)Montrer que la suite In est décroissante.

4)grâce à un encadrement de racine (1+t) montrer que pour tout n appartenant à n :
1/(n+1)< In <racine 2/n+1

5) en déduire la limite de la suite In

6) Montrer que pour tout t appartenant à [0,1] 0< racine 2-racine (1+t)< (1-t)/2


Ce que j'ai réalisé comme recherche:
1)
I0= intégrale de 0 à 1 de racine (1+t)
I0= intégrale de 0 à 1 de (1+t)^3/2
I0 = [(1+t) racine (1+t)]0 à 1
I0 = 2 racine de 2

2)
I1= intégrale de 0 à 1 de t^1 racine (1+t)
u = t u' = 1 v = (1+t) racine( 1+t) v' =racine (1+t)
I1 = [t * (1+t) racine( 1+t)]0 à 1 -intégrale de 0 à 1 (1+t) racine (1+t)
I1 = [t * (1+t) racine( 1+t)] 0 à 1 - [ racine (1+t)]0 à 1
I1 = racine 2

salut
revois le 1
une primitive de est

jehuet
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par jehuet » 12 Juin 2012, 19:42

1)
I0= intégrale de 0 à 1 de racine (1+t)
I0= intégrale de 0 à 1 de (1+t)^3/2
I0 = [2/3 (1+t)^3/2]0 à 1
I0 = 2/3 (1+1)^3/2
I0 = 4/3 ^ 3/2

2)
I1= intégrale de 0 à 1 de t^1 racine (1+t)
u = t u' = 1 v = 2/3 (1+1)^3/2 v' =racine (1+t)
I1 = [t * (1+t) *2/3 (1+1)^3/2 ]0 à 1 -intégrale de 0 à 1 2/3 (1+1)^3/2
I1 = [t * (1+t) *2/3 (1+1)^3/2] 0 à 1 - [ racine (1+t)]0 à 1

geegee
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par geegee » 12 Juin 2012, 19:57

[quote="jehuet"]Le but de cet exercice est l'étude des suite In et Jn définies par:
pour tout n appartenant à N In = intégrale de 0 à 1 t^n * racine (1+t) et Jn =n In

1) calculer I0.

2) A l'aide d'une intégration par partie calculer I1.

3)Montrer que la suite In est décroissante.

4)grâce à un encadrement de racine (1+t) montrer que pour tout n appartenant à n :
1/(n+1)0 donc suite croissante

 

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