Les intégrales et les suites [TS]

[grego]

Bonjour, pouvez vous m'aider svp car je bloque sur certaines questions.Merci

On considère la fonction f définie sur ]-5/2;+infini[ par f(x)=e^x/(-2x-5).

1-Dresser le tableau de variations complet de f.
J'ai calculer f'(x)=(e^x*(-2x-5)+2e^x)/(-2x-5)².
Et je trouve que f est décroissante sur cette intervale.
f(-5/2) n' est pas défini, mais je peut dire quelle est égale à 0.
Et lim de f en +infini= - l'infini.

2-Préciser le maximum M et le minimum m de f sur [0;1].
J'ai calculer f(o)=-1/5 qui est le maximum M puisque f est décroissante
Et f(1)=-e/7 qui est le minimum m de f

3-Prouvez qu'il existe 2 tangentes à Cf qui contienne l'origine.
Y - f(x) = f '(x) [X - x] si la tangente passe par l'origine, alors (X,Y) = (0,0) donne une solution en x
j'ai trouvé ensuite 2x² - 5 = 0

mais après je ne vois pas comment prouver qu'il existe 2 tangentes à Cf qui contienne l'origine.


On pose J=intégrale sur [0;1] de f(t) dt.Le but de cette partie est d'encadre cette intégrale qu'on ne cherchera donc pas à calculer directement.
Pour tout entier naturel n on pose Un=(-1)^n*(2^n/5^n+1)*intégrale de[0;1] de e^t*t^n dt.

1-Calculer U0.
J'ai trouver U0=(e/5)-(1/5).

2-A l'aide d'une intégration par parties, établir une relation de récurrence entre Un et Un-1.
J'ai trouver que Un= (-1)^n * (2n)/(5^n+1) * e + 2/5 * n * Un-1
Est-ce juste?

3-En déduire les valeurs exactes de U1,U2,U3 etU4.
Je n'arrive pas à retrouver ces valeur de U avec la relation de récurrence.

U1 = (-1)^1 * * (2^1)/(5^1+1) * e + 2/5 * 1 * U0= (-2/25) * e + 2/5 * U0
Or U0 = e-1/5

Donc U1=(-2/25) * e + 2/5 * (e-1)/5 = (-2)/25
U2= 4e-8/125
U3=16e –48/625
U3=144e – 384/3125


4-On pose Sn=U0+U1+....+Un.Caluler Sn sous forme d'intégrale et en déduire que : Sn-J=(-1)^n*(2^n+1/5^n+1)*intégrale de[0;1] de (e^t*t^n+1)/(-2t-5)
Je ne vois pas comment calculer Sn sous forme d'intégrale ?

5-Prouver que valeur absolu de (Sn-J) est inférieur ou égale à: (k/n+2)*(2/5)^n+1 ou k est une constante qu'on précisera. En déduire que Sn converge en précisant sa limite.
Je n'est pas réussie à trouver, pouvez vous m'aider?

6-Prouver que Sn et Sn+1 encadrent J.Donner un exemple d'un encadrement dont on précisera l'amplitude.
Je ne vois pas comment faire?

Merci de m'aider.

[fonfon]

Salut,

On considère la fonction f définie sur ]-5/2;+infini[ par f(x)=e^x/(-2x-5).

1)pour tout x ds ]-5/2,+inf[ f'(x)=(2x+7)/(4x²e^x+20xe^x+25e^x)
donc moi je trouve que f est croissante sur ]-5/2,inf[

de plus limf(x)=0 qd x->+inf et limf(x)=-inf qd x->-5/2+ donc ....

[grego]

merci fonfon, pour ta remarque
peux me dire si le reste est juste stp

[fonfon]

Re,

pour la 2) vu ce que je t'ai dit

pour la 3) dejà une equation de la tangente au point d'abscisse xo est donnée par:


ensuite pour la suite est-ce que c'est:

[grego]

merci Fonfon pour les équation de la tangente j'obtiens ceci :

y= 2x² -5 => est ce juste ???


3)oui, c'est bien l'expression là que j'ai trouvé => c'est juste ???

[fonfon]

Non ,pour une equation de la tangente si elle passe par (0,0) alors xo=0 donc

soit en remplaçant:



3) on a

donc pour n=0 on remplace et on obtient



je pense qu'il faut que tu revoies la suite

[fonfon]

Re, je dois partir je me reconnecterait peut-être tout à l'heure sinon je serais là demain à moins que quelqu'un t'ai repondu pour la suite si tu n'y arrives toujours pas