Suites et intégrales

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suites et intégrales

par Science » 12 Mai 2008, 12:43

Bonjour les ami(e)s voilà j'ai un peitt problème avec cet exercice
Soit Un la suite définie pour tout entier naturel non nul par :
Un= avec f(t)= exp(1-t)

Démontrer que pour tout enteir naturel non non ul
f(n+1) Unf(n)
En déduire que la suite (Un) est décroissante
Pour la 2ème question je vois un peu comment faire mais pour la 1ère question j'ai du mal.
Merci d'avance pour votre aide cordialement
Science



Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 12:58

Bonjour,
Il faut que tu penses à la façon dont on t'a introduit l'intégrale. C'est l'aire sous la courbe. Si tu as une fonction positive et décroissante sur un intervalle, l'aire sous la courbe entre n et n+1 est majorée par quelle aire ? (essaie de construire un rectangle qui englobe l'aire que définit l'intégral). Pareil pour la minoration.

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par Science » 12 Mai 2008, 13:47

Benjamin631 a écrit:Bonjour,
Il faut que tu penses à la façon dont on t'a introduit l'intégrale. C'est l'aire sous la courbe. Si tu as une fonction positive et décroissante sur un intervalle, l'aire sous la courbe entre n et n+1 est majorée par quelle aire ? (essaie de construire un rectangle qui englobe l'aire que définit l'intégral). Pareil pour la minoration.


Pour la majorantion c'est f(n)n et pour la minoration c'est f(n+1)n mais je vois aps comment exploiter ce résultat?

Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 14:51

Et bien ça te donne bien le résultat de la première question non ?
Pour la deuxième, j'ai pas encore réfléchi dessus lol. Je m'y mets ;)

Science
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par Science » 12 Mai 2008, 14:57

Benjamin631 a écrit:Et bien ça te donne bien le résultat de la première question non ?
Pour la deuxième, j'ai pas encore réfléchi dessus lol. Je m'y mets ;)


Pas vraiment parce qu'en fait toi tu l'as démontré géométriquement mais faut que je démontre de manière analytique que j'ia bien ces inégalités

Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 15:03

En fait, c'est une propriété des intégrales ça. Tu dois avoir dans ton cours que
Si pour tout x sur [a;b], alors .
En prenant g(x)=f(n) ou f(n+1), tu as la démo. J'essayai juste de te le faire sentir géométriquement ;)

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par Science » 12 Mai 2008, 15:30

Benjamin631 a écrit:En fait, c'est une propriété des intégrales ça. Tu dois avoir dans ton cours que
Si pour tout x sur [a;b], alors .
En prenant g(x)=f(n) ou f(n+1), tu as la démo. J'essayai juste de te le faire sentir géométriquement ;)

Je suis d'accord mais là on doit appliquer cette propriété dans le sens contraire.

Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 15:37

Non, pas du tout. Quelle est le sens de variations de f(x) ?
Pour tout x dans [n;n+1], que peux tu alors dire de f(n), f(x) et f(n+1) ? Que peux-tu alors dire de leur intégrale sur [n;n+1] ?

Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 15:38

Non, pas du tout. Quelle est le sens de variations de f(x) ?
Pour tout x dans [n;n+1], que peux tu alors dire de f(n), f(x) et f(n+1) ? Que peux-tu alors dire de leur intégrale sur [n;n+1] ?

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par Science » 12 Mai 2008, 16:33

Benjamin631 a écrit:Non, pas du tout. Quelle est le sens de variations de f(x) ?
Pour tout x dans [n;n+1], que peux tu alors dire de f(n), f(x) et f(n+1) ? Que peux-tu alors dire de leur intégrale sur [n;n+1] ?


f(x) est décroissant sur [1;+infini[ donc f(n+1)<=f(n)
après je sais pas quoi faire
je ne peux aps partir de l'intégrtale pour poruver que c ca parce que la proprité que tu m'as donné taleur ne s'applique que dans un seul sens la réciproque est fausse

Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 17:27

Oui je sais, mais qui te dit d'utiliser la réciproque ???
f(n+1)Donc, d'après ma propriété ???
Quelle est l'intégrale de f(n+1) dx entre n et n+1 ?? Considère f(n+1) comme la fonction constante qui vaut f(n+1). g(x)=f(n+1). En aucun cas, je n'utilise la réciproque, qui effectivement est fausse.

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par Science » 12 Mai 2008, 21:17

Benjamin631 a écrit:Oui je sais, mais qui te dit d'utiliser la réciproque ???
f(n+1)<f(x)<f(n) pour tout x dans [n;n+1].
Donc, d'après ma propriété ???
Quelle est l'intégrale de f(n+1) dx entre n et n+1 ?? Considère f(n+1) comme la fonction constante qui vaut f(n+1). g(x)=f(n+1). En aucun cas, je n'utilise la réciproque, qui effectivement est fausse.

l'intégrale de f(n+1) dt entre n et n+1 c'est f(n+1)*1 et l'autre c'est f(n)*1 mais c'est bon j'ai compris ton raisonnement ty arrives pour la 2ème?

Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 21:23

Pour étudier le sens de variations d'une suite, il faut regarder la position de u(n+1) par rapport à u(n), pour tout n.

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par Science » 12 Mai 2008, 21:55

Benjamin631 a écrit:Pour étudier le sens de variations d'une suite, il faut regarder la position de u(n+1) par rapport à u(n), pour tout n.

donc un+1-un= Intégrale de n+1 à n+1 de f(t)dt- intégrale de n à n+1 de f(t)dt
donc un+1-un=I de n+1 à n+1 de f(t)dt+I de n+1 à n de f(t) dt
après j'arrive aps à avancer

Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 21:58

Oula, tu te compliques l'existence. Dans un exo, en général, les questions précédentes servent à quelque chose ;).
Tu as f(n+1)
PS et tu as fait une petite erreur. U(n+1), c'est l'intégrale de n+1 à n+2.

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par Science » 12 Mai 2008, 22:10

Benjamin631 a écrit:Oula, tu te compliques l'existence. Dans un exo, en général, les questions précédentes servent à quelque chose ;).
Tu as f(n+1)<u(n)<f(n). Que peux-tu dire de u(n+1) ? Que dire alors de u(n) par rapport à u(n+1) ??

PS et tu as fait une petite erreur. U(n+1), c'est l'intégrale de n+1 à n+2.


f(n+2)<un+1<f(n+1) donc donc un+1<Un ca uy est!

Benjamin
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par Benjamin » 12 Mai 2008, 22:12

Exactement :++:

 

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