Exercice difficile sur les suites et intégrales [TS]

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bunny
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Exercice difficile sur les suites et intégrales [TS]

par bunny » 27 Mai 2010, 21:14

Bonsoir à tous,

Je bloque à certaine questions de l'énoncé suivant :

On pose pour tout entier naturel non nul n, .

1. a. Calculer .
=> OK,

b. Montrer que pour tout .
=> OK.

c. En déduire .
=> OK, ; ;

2. a. Prouver que pour tout entier naturel non nul n et pour tout .
=> Je n'ai pas réussi cette question. Je ne vois pas comment m'y prendre. J'ai pensé étudier le signe de la différence puis de mais je n'y suis pas arrivé. De plus, c'est un peu comme si je partais de la conclusion car j'utilise l'inégalité alors que je suis censé la démontrer...

b. En déduire un encadrement de .
=> OK, .

c. Déterminer les limites des suites et .
=> OK, et .

On considère la suite définie par .

3. a. Calculer les valeurs exactes de .
=> OK, , .

b. Démontrer par récurrence que .
=> Je n'ai pas réussi. Initialisation : OK mais pour l'hérédité je pense qu'il y a une astuce. J'ai eu l'idée d'encadrer car quand il y en a, il est bien utile de faire un encadrement par -1 et 1 mais ça donne rien d'intéressant ici... Qu'en pensez-vous ?

c. En déduire .
=> J'ai pour l'instant mi de côté cette dernière question car ce qui m'importe le plus, c'est de trouver les deux précédentes où je n'y arrive pas.


Voilà voilà. C'est un peu long :/
Merci à ceux qui ont pris le temps de lire jusqu'au bout. Je fais donc appel maintenant à vos connaissances pour m'aider aux deux questions qui me posent problème.
Je vous en supplie, aidez-moi, cet exercice est très important.

Un très grand merci par avance.



gigamesh
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par gigamesh » 27 Mai 2010, 22:23

Bonsoir,
pour la question 2a, tu remarqueras que sur [0;1], ; passe à l'inverse et multiplie par qui est positif. Voila pour l'inégalité de gauche.

quant à l'inégalité de droite, elle équivaut à en simplifiant par (le cas t=0 peut être traité à part), donc à .

Pour la récurrence, je jette un oeil.
Bon il y a pas de difficulté majeure ; en utilisant la question 1b. avec n=2k+1, on obtient

bunny
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par bunny » 28 Mai 2010, 19:56

Merci gigamesh d'avoir répondu.

2. a.






=> OK pour l'inégalité de gauche : .

Pour l'inégalité de droite, je n'ai pas bien suivi ton raisonnement.
Elle équivaut effectivement à si l'on considère la proposition vraie. Or, on doit justement la prouver, c'est-à-dire utiliser un enchaînement d'inégalités comme tu me l'as astucieusement fais remarqué.
Peux-tu expliciter davantage ou est-ce une erreur de ma part ?

2. b.
Pour la démonstration par récurrence, je ne comprend toujours rien du tout. J'avais par contre déjà remarqué ce que tu as écrit. Mais en quoi cela nous avance-t-il ?
Il faut vraiment que quelqu'un m'aide pour la démonstration par récurrence. Je ne sais comment m'y prendre...

Merci de me répondre.
Bonne soirée.

gigamesh
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par gigamesh » 28 Mai 2010, 20:47

bunny a écrit:Merci gigamesh d'avoir répondu.

2. a.






=> OK pour l'inégalité de gauche : .

Ouaip, sauf que ta première équivalence n'en est pas une.
On a bien
=> mais la réciproque n'est pas vraie.

Et la dernière équivalence n'est vraie que lorsque t est positif (ce qui est le cas ici, ceci dit).
bunny a écrit:Pour l'inégalité de droite, je n'ai pas bien suivi ton raisonnement.
Elle équivaut effectivement à si l'on considère la proposition vraie. Or, on doit justement la prouver, c'est-à-dire utiliser un enchaînement d'inégalités comme tu me l'as astucieusement fais remarqué.
Peux-tu expliciter davantage ou est-ce une erreur de ma part ?

Ce qui te pose problème me semble-t-il, est l'aspect logique de la démonstration.
Lorsqu'on veut démontrer une proposition, on peut dire qu'elle est équivalent à une autre, qui est elle même équivalente à une troisième, etc, jusqu'à ce qu'on arrive par ce chaînage d'équivalence à une proposition dont on sait déterminer la véracité.
Mais écrire P Q R ne signifie pas qu'on affirme que P est vraie, ni qu'elle est fausse ; on affirme seulement que ces trois propositions P, Q et R sont toutes trois vraies ensemble ou bien toutes trois fausses ensemble.

p.ex, écrire ABC est rectangle en A BC²=AB²+AC² ne signifie pas qu'on affirme que ABC est rectangle en A; par contre on affirme que :
*si ABC est rectangle en A alors BC²=AB²+AC²
*si BC²=AB²+AC² alors ABC est rectangle en A

De même écrire (on suppose qu'on a A(2;3) et B(-1;5) dans un repère orthonormé)
M(x;y) est sur la médiatrice de [AB]
AM=BM
AM²=BM²
(x-2)²+(y-3)²=(x+1)²+(y-5)²
x²-4x+4 +y²-6y+9=x²+2x+1+y²-10y+25
-6x+4y-16=0
y=1,5x+4

ne signifie pas que M est sur la médiatrice de [AB], et n'affirme pas non plus que y est égal à 1,5x+4.

Cette chaîne d'équivalences signifie simplement qu'on a trouvé une CNS (une condition nécessaire et suffisante) pour qu'un point de coordonnées x et y soit sur la médiatrice de [AB].

Ainsi, la chaîne d'équivalences suivante prouve la deuxième inégalité :

(on a multiplié par 2(t²+1) qui est strictement positif)


La dernière proposition est vraie (un carré est positif)
donc la première l'est aussi.

bunny a écrit:2. b.
Pour la démonstration par récurrence, je ne comprend toujours rien du tout. J'avais par contre déjà remarqué ce que tu as écrit. Mais en quoi cela nous avance-t-il ?
Il faut vraiment que quelqu'un m'aide pour la démonstration par récurrence. Je ne sais comment m'y prendre...

Merci de me répondre.
Bonne soirée.


On suppose que pour un certain entier k, on a
On se propose d'en déduire que cette propriété est vraie au rang suivant k+1 ; ce qui signifie qu'on se propose de démontrer que

Il suffit de prouver que

Et on se lance dans un calcul long et fastidieux, mais on sait où on va (on veut trouver zéro) et on sait ce qu'on va utiliser : l'hypothèse de récurrence, la définition de et la propriété dont on a causé.



Bon courage !

bunny
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par bunny » 28 Mai 2010, 21:36

On suppose que pour un certain entier k, on a .
On se propose d'en déduire que cette propriété est vraie au rang suivant k+1 ; ce qui signifie qu'on se propose de démontrer que

Il suffit de prouver que


=
=
=
=
=
=
=
= 0

Ouf ! Normalement c'est bon.

gigamesh
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par gigamesh » 28 Mai 2010, 21:44

Ouais,
ça m'a l'air bien.
Bon moi j'aurais développé le -(....) qui vient du -ln(2) et de l'hypothèse de récurrence un peu plus tôt...
histoire de virer les rapidement.

Et puis on pourrait mettre le en facteur pour regrouper les

Bon mais c'est des détails, tous les chemins mènent à Rome (enfin à zéro ici)

bunny
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par bunny » 28 Mai 2010, 22:03

Ouais t'as raison mais bon le plus important, c'est d'avoir réussi. Et puis comme tu l'as dit, tout les chemins mènent à Rome (0 ici).
Un immense merci à toi gigamesh, tu m'as été d'un très grand secours.
Bonne continuation sur le forum et peut-être à bientôt ! :++:

 

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