Entiers et logarithme

[efi]

Bonjour,

J'essaie de prouver 3^x+1=2^y n'a pas de solutions entières (x,y) autres que (0,1) et (1,2) mais ne sais pas comment m'y prendre.

Ca fait un moment que j'ai pas fait de maths alors soyez indulgent...

D'avance merci beaucoup pour votre aide.
EFI

[paquito]

C'est équivalent à 3^x-2^y=-1. on va utiliser les congruences:

3^0=1[6][RIGHT]2^0=1 [6][/RIGHT]
3^1=3 [6][RIGHT]2^1=2 [6][/RIGHT]
3^2=2[6] [RIGHT]2^2=4 [6][/RIGHT]
3^3=3 [6][RIGHT]2^3=2 [6][/RIGHT]

3^n=2[6][RIGHT]2^n=4 [6][/RIGHT]

Il nn'y a que 2 cas à examiner et finalement 3^x-2^y=-1

[nodjim]

Paquito,
x et y ne sont pas forcément identiques. Je tenterais modulo 8, pour voir.

[efi]

C'est équivalent à 3^x-2^y=-1. on va utiliser les congruences:

3^0=1[6][RIGHT]2^0=1 [6][/RIGHT]
3^1=3 [6][RIGHT]2^1=2 [6][/RIGHT]
3^2=2[6] [RIGHT]2^2=4 [6][/RIGHT]
3^3=3 [6][RIGHT]2^3=2 [6][/RIGHT]

3^n=2[6][RIGHT]2^n=4 [6][/RIGHT]

Merci.

Je suppose que tu veux écrire 3^p = 3 [6] pour p>1 et
2^q=4 [6] => q pair si on veut 3^p-2^q=-1 [6].

Ca réduit pas mal les possibilités mais je vois pas encore comment conclure.

[paquito]

C'est équivalent à 3^x-2^y=-1. on va utiliser les congruences:

3^0=1[6][RIGHT]2^0=1 [6][/RIGHT]
3^1=3 [6][RIGHT]2^1=2 [6][/RIGHT]
3^2=2[6] [RIGHT]2^2=4 [6][/RIGHT]
3^3=3 [6][RIGHT]2^3=2 [6][/RIGHT]

3^n=2[6][RIGHT]2^n=4 [6][/RIGHT]

Il n'y a que 2 cas à examiner et finalement si (; ou ; dans les autres cas, on aet donc l'égalité ne peut avoir lieu

[efi]

C'est équivalent à 3^x-2^y=-1. on va utiliser les congruences:

3^0=1[6][RIGHT]2^0=1 [6][/RIGHT]
3^1=3 [6][RIGHT]2^1=2 [6][/RIGHT]
3^2=2[6] [RIGHT]2^2=4 [6][/RIGHT]
3^3=3 [6][RIGHT]2^3=2 [6][/RIGHT]

3^n=2[6][RIGHT]2^n=4 [6][/RIGHT]

Il n'y a que 2 cas à examiner et finalement si (; ou ; dans les autres cas, on aet donc l'égalité ne peut avoir lieu

Sauf erreur 3^n =3 [6] n>0, mais je trouve l'idée de la congruence géniale.

[efi]

Paquito,
x et y ne sont pas forcément identiques. Je tenterais modulo 8, pour voir.

Ok, ca me parait bien car, je vois:
2^n = 0 [8] pour n>2
3^(2p+1) = 3 [8]
3^(2p)=1 [8]

Donc modulo 8, ca donne bien le résultat si on prouve les égalités:
3^(2p+1) = 3 [8]
3^(2p)=1 [8]

On doit plus être bien loin.

[efi]

Paquito,
x et y ne sont pas forcément identiques. Je tenterais modulo 8, pour voir.

Comment l'idée t'es venue?

[nodjim]

Paquito, 3-4=-1 pour 3^1-2^2 (les puissances 1 et 2 sont modulo 6 bien entendu).

[efi]

Ok, ca me parait bien car, je vois:
2^n = 0 [8] pour n>2
3^(2p+1) = 3 [8]
3^(2p)=1 [8]

Donc modulo 8, ca donne bien le résultat si on prouve les égalités:
3^(2p+1) = 3 [8]
3^(2p)=1 [8]

On doit plus être bien loin.

Je me réponds: j'ai trouvé en déroulant avec une récurrence sur p. Si y a plus malin, je prends. En tout cas merci.

[paquito]

Bonjour,

j'ai été trop vite! [6]on a bien 3^x=3 mais 2^y=2[6] que si y est impair; par compte [8], ça marche très bien!

[chan79]

Ok, ca me parait bien car, je vois:
2^n = 0 [8] pour n>2
3^(2p+1) = 3 [8]
3^(2p)=1 [8]

Donc modulo 8, ca donne bien le résultat si on prouve les égalités:
3^(2p+1) = 3 [8]
3^(2p)=1 [8]

On doit plus être bien loin.

Ca m'a l'air quasiment résolu

= 0 [8] pour n>2
On cherche à quoi peut être égal modulo 8 avec k entier et k' prenant les valeurs de 0 à 7



modulo 8, prend les valeurs 2,4,2,4,2,4,2 et 4.

On ne peut pas avoir l'égalité si n>2
Ensuite, on voit avec n=0 et n=1