Soit d=pgcd(5+5i, 3+4i)
d divise 5+5i et 3+4i (normal ^^)
|d|^2 divise |5+5i|^2 et |3+4i|^2 (normal encore)
|d|^2 divise 50 et 25 (tu calcule les modules au carré)
En posant : d=a+ib avec (a,b) dans Z on a, en remplacant :
|a+ib|^2 divise 50 et 25
a^2+b^2 divise 50 et 25 (le module au carré d'un complexe a+ib est a^2+b^2)
(a^2+b^2) est dans Z (puisque le module d'un complexe élevé au carré est dans Z (et aussi car a et b sont dans Z))
Les diviseurs communs à 50 et 25, sont, dans Z {1,5,25} pas besoin d'expliquer ça normalement :p
Le couple (a,b) peut donc être, car a^2+b^2 peut être égal à 1, 5 ou 25 (diviseurs communs de 50 et 25) un pitit raisonnement logique donne ces possibilités pour a et b :
d peut être alors, comme d=a+ib :
En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :
De ce fait, il suffit de restreindre la recherche à
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1 ou 1+2i ou 1-2i ou 3+4i ou 3-4i vu que les autres pgcd possibles sont égaux à un facteur inversible près.
Puisque
Comme
De plus :
Comme
Et encore :
Comme
Et encore :
Comme
De même :
Comme
1-2i est un diviseur commun à (3+4i) et (5+5i)
De plus, 1-2i est multiple de 1, donc 1-2i est plus grand au niveau de la divisibilité que 1.
Dans ce cas :
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1-2i
