Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

par **Djmaxgamer** » 16 Juil 2009, 23:14

leon1789 a écrit:
on arrondit 1.34 à 1 et 0.073 à 0
et on prend q= 1+0i
Il vient 16+22i = (11+17i)q + r où r = 5+5i
et pgcd(16+22i, 11+17i) = pgcd(11+17i, 5+5i)

on continue :

on arrondit 2.8 à 3 et 0.6 à 1
et on prend q= 3+1.i
Il vient 11+17i = (5+5i)q + r où r = 1-3i
et pgcd(11+17i, 5+5i) = pgcd(5+5i, 1-3i)

a vous...

C'est un bon raisonnement ? Disons à préféré par rapport au graphique ? (l'arrondi des fractions)

par **Dinozzo13** » 16 Juil 2009, 23:17

:doh: , ça va trop vite, 'y a des messages de partout, je sais plus où on en est.
Pour commencer, est-ce que l'un de vous pourrait me rédiger une correction du 1er PGCD

.

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 23:19

Dinozzo13 a écrit::doh: , ça va trop vite, 'y a des messages de partout, je sais plus où on en est.
Pour commencer, est-ce que l'un de vous pourrait me rédiger une correction du 1er PGCD .

On sait que pgcd(5+5i, 3+4i)=pgcd(3+4i, 2+i)

Dinozzo13 a écrit:on recalcule pgcd(3+4i, 2+i) à la manière euclidienne !

Soit B le point d'affixe z=2+1 non, z=2+1.i
3+4i=z(2+i)+r'
r'=4i-2 en fait r'=0
Alors pgcd(5+5i , 3+4i) = pgcd(3+4i, 2+i) = pgcd(2+i, 0) = 2+i

Tu comprends, on arrondit les parties réels et imaginaires telles quelles...

par **Dinozzo13** » 16 Juil 2009, 23:22

Moi, je vais me coucher, c'est pas une heure pour bosser ^^, à demain ^^.

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 23:25

Djmaxgamer a écrit:Calculons pgcd(16+22i, 11+17i)
(...)
Alors pgcd(16+22i, 11+17i) = pgcd(11+17i, 5+5i)
(...)
Alors pgcd(11+17i, 5+5i)=pgcd(5+5i,1-3i)
(...)
Alors pgcd(5+5i,1-3i)=pgcd(1-3i,0)=1-3i

Donc : pgcd(16+22i, 11+17i) = 1-3i

exact !

Djmaxgamer a écrit:C'est un bon raisonnement ? Disons à préféré par rapport au graphique ? (l'arrondi des fractions)

Ta rédaction avec fraction est bonne. J'ai rédigé de manière plus "numérique"... mais on fait exactement la même chose en réalité.

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 23:28

Dinozzo13 a écrit:Moi, je vais me coucher, c'est pas une heure pour bosser ^^, à demain ^^.

il faut simplement que tu penses à arrondir comme sur cet exemple
1.23 + 4.56 i s'arrondit en 1+5 i

par **Djmaxgamer** » 16 Juil 2009, 23:30

En fait la division donne un complexe z=a+ib et pour trouver le plus proche graphiquement, (et donc le quotient de la division euclidienne) il suffit d'arrondir a et b comme on a l'habitude de faire (à l'entier le plus proche)

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 23:31

En plus, il se trouve, que si on arrondit mal le quotient, par exemple on arrondit 1.23 + 4.56i en 2+4i , la division euclidienne se fait quand même et l'algo d'Euclide fonctionne toujours :zen:

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 23:36

leon1789 a écrit:Commençons par la division de 5+5i par 3+4i : on calcule

C'est un nombre complexe qui n'est pas dans Z[i], ok.

Dessiner dans R^2 le point d'affixe 7/5 - i/5 ,
et le point d'affixe a+ib () le plus proche au sens de la distance habituelle. En clair, on arrondit 7/5 en 1 et -1/5 en 0.

Ainsi q=1+0.i est l'entier de Gauss le plus proche (en distance) de

On termine la division euclidienne de 5+5i par 3+4i en posant
5+5i = q.(3+4i) + r
Comme q = 1, il vient r = 2+i

J'ai oublié de dire que q et r sont quotient et reste de la division euclidienne de 5+5i par 3+4i.

par **Dinozzo13** » 17 Juil 2009, 19:50

Bonsoir, ce soir je n'ai pas beaucoup le temps d'être présent, j'espère donc que vous serez là demain ^^.

par **Djmaxgamer** » 17 Juil 2009, 19:58

je suis la en tous cas quand tu veux ^^

par **Dinozzo13** » 18 Juil 2009, 12:28

Djmaxgamer a écrit:je suis la en tous cas quand tu veux ^^

c'est super ^^, ça pouvait pas mieux tomber ^^.

par **Dinozzo13** » 18 Juil 2009, 22:26

Bonsoir, j'aimerais qu'on poursuive la division euclidienne dans Z[i].
petites questions :
- lorsqu'on cherche à calculer

avec

, est-ce que l'on doit calculer obligatoirement

ou bien calculer on peut calculer

, c'est-à-dire, est-ce que l'ordre à une importance ?
- Lorsqu'on calcule

et qu'on tomble sur un élément de Z[i], est-ce que la division esst terminée ?

par **Dinozzo13** » 18 Juil 2009, 22:57

Par exemple, j'ai essayé de déterminer

.
J'ai commencé par calculer

mais pourrait-on aussi bien commencer par

?

.
Comme

alors soit

tel que

,

tel que:

Donc

.
Je fais de même,

.
Comme

alors soit

tel que

,

tel que:

Donc

.

,

, donc

.

Donc

.

par **skilveg** » 19 Juil 2009, 07:20

Je ne suis pas convaincu que

Dinozzo13 a écrit:

ni que 2 divise

.

par **leon1789** » 19 Juil 2009, 08:39

Dinozzo13 a écrit:Par exemple, j'ai essayé de déterminer .
J'ai commencé par calculer mais pourrait-on aussi bien commencer par ?

oui, pourquoi pas.

Dinozzo13 a écrit:.
Comme alors soit tel que , tel que:

Donc .

ok
Avec l'autre fraction, on aurait pgcd(2+3i, 4+4i) = pgcd(4+4i,-2-i)

Dinozzo13 a écrit:Je fais de même,
.
Comme alors soit tel que , tel que:

Donc .

non, là, il y a coquille dans q', mais le reste est ok : on a bien

Or

...

par **leon1789** » 19 Juil 2009, 08:39

Dinozzo13 a écrit:, , donc .

Donc .

et là, tu confonds le quotient et le reste !

par **leon1789** » 19 Juil 2009, 08:45

Dinozzo13 a écrit:Par exemple, j'ai essayé de déterminer .

avec la première méthode par le module (juste pour dire qu'il est bon de connaitre les deux méthodes !), on a |4+4i|² = 32 et |2+3i|² = 13. Or pgcd(32, 13)=1 dans Z donc pgcd(4+4i, 2+3i)=1 dans Z[i].

par **leon1789** » 19 Juil 2009, 08:49

Dinozzo13 a écrit:Par exemple, j'ai essayé de déterminer .
J'ai commencé par calculer mais pourrait-on aussi bien commencer par ?

La réponse est oui, mais essaie de le justifier (c'est un bon exercice de compréhension). Conseil : singe la preuve que tu connais sur Z. N'oublie pas que le pgcd(a,b), c'est le plus grand diviseur commun de a et b, au sens de la divisibilité.

par **Dinozzo13** » 19 Juil 2009, 15:58

leon1789 a écrit:Or ...

Pourquoi ? si on simplifie par i, on a PGCD(-2i;i)=i

Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

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