Calcul de la somme des n premières puissances k^j d'entiers

[Dinozzo13]

Bonjour, aujourd'hui j'aurai besoin d'aide car je suis confronté un petit problème : comment calculer la somme définie par en fonction de l'entier naturel non nul n et sachant que k est un paramètre tel que ?
Car c'est pour après calculer cette même somme mais lorsque k=2, 3, 7 etc.
Je sais qu'une première méthode consiste à le démontrer par récurrence à partir du résultat mais j'ai entendu parler d'une autre méthode où il faudrait considérer la somme comme une intégration, mais je n'ai pas compris le principe, je m'en remet donc à vous.

[johnjohnjohn]

Bonjour, aujourd'hui j'aurai besoin d'aide car je suis confronté un petit problème : comment calculer la somme définie par en fonction de l'entier naturel non nul n et sachant que k est un paramètre tel que ?
Car c'est pour après calculer cette même somme mais lorsque k=2, 3, 7 etc.
Je sais qu'une première méthode consiste à le démontrer par récurrence à partir du résultat mais j'ai entendu parler d'une autre méthode où il faudrait considérer la somme comme une intégration, mais je n'ai pas compris le principe, je m'en remet donc à vous.

ça ne ressemble pas à une suite géométrique de raison i ton truc ?

Edit : Au temps pour moi k est un réel, pas un entier. J'en sais rien alors :lol5:

[johnjohnjohn]

mince, je viens de relire ta question et finalement je ne sais pas si k est un réel ou un entier. Tu précises stp ?

[Dinozzo13]

ça ne ressemble pas à une suite géométrique de raison i ton truc ?

Edit : Au temps pour moi k est un réel, pas un entier. J'en sais rien alors :lol5:

Eh non malheureusement ce n'est pas aussi simple que ça en a l'air ^^, de plus, attention, k est un entier mais supérieur à 2 !
Si tu réécris ma somme, tu as, pour tout entier naturel n non nul :

Et si par exemple k=2 alors :

Va donc essayer de trouver une raison de suite géométrique là-dedans :ptdr: .

[Dinozzo13]

mince, je viens de relire ta question et finalement je ne sais pas si k est un réel ou un entier. Tu précises stp ?

Certainement, tu ne le savais peut-être pas mais l'intervalle désigne pour k tout les entiers supérieur (ou égal) à 2

[johnjohnjohn]

Va donc essayer de trouver une raison de suite géométrique là-dedans :ptdr: .

hé bien. Tu as raison !

[Dinozzo13]

mais t'inquiète, j'ai eu le même raisonnement, mais voyant que ça coince je me suis aussi perdu :ptdr:

[Ben314]

Salut,
Une des joli méthodes (il y en as d'autres) et de commencer par calculer puis de sommer.
Par exemple, si on veut évaluer , on commence par écrire que :
(en utilisant le binôme de Newton ou bien en développant petit à petit).
On écrit ensuite cette relation pour , , , ..., :



.
.
.

puis on fait la somme de toutes ces égalités.
Tout les termes en s'éliminent à part le terme et on a :
(où )
Cela permet, lorsque l'on connait et , d'en déduire que :

Evidement, le même type de formule permet de calculer par exemple connaissant :

[Dinozzo13]

Salut !
J'ai plusieurs questions, pour quoi ? et que représente x ?


Tu n'as pas vu la méthode avec intégrales car c'est sur le chapitre des intégrales que je dois le faire. Si on remplace le symbole sigma par une intégrale cela implique la recherche d'une primitive de . Mais ici, le terme primitive correspond à une notion d'intégrale discrète nous a-t-on dit, c'est-à-dire qu'on souhaite qu'une certaine équation mettant en évidence une différence de primitive soit vérifiée.

[Ben314]

Le x représente un réel (voire un complexe) quelconque. On applique ensuite la formule en prenant pour x les valeurs 0,1,2,...,n.
Si tu veut trouver le résultat avec des intégrales, l'idée consiste à chercher une fonction f (en fait un polynôme) tel que, pour tout dans , on ait .
Cela permettra d'écrire que :

qui se calcule facilement.
Pour trouver f, on peut écrire que c'est un polynôme (de degrés k) de coefficients inconnus et on cherche les valeurs que doivent avoir les coeffs. pour que la formule soit vérifiée.

P.S. Par rapport à ton post précédent, il faut effectivement noter que la formule peut s'écrire où est une des primitives de .
On peut donc parfaitement chercher plutôt que ...

[Dinozzo13]

Voilà ! c'est ça que je n'arrive pas appliquer quand k=2 et donc pour n'importe quelle valeur de k.
Prenons k=2 par exemple et calculons , hé bien je ne sais pas comment m'y prendre et comment rédiger ça correctement :triste: .
Peux-tu m'indiquer la démarche à suivre ?

[Ben314]

Tu cherche tel que, pour tout on ait ce qui revient à chercher tel que
Tu écrit donc
puis tu développe le terme de droite et tu identifie les coeff. de même degrés pour trouver , et .

[Skullkid]

Tu dois chercher un polynôme F de degré 3 tel que pour tout x on ait F(x)-F(x-1) = x². Tu auras alors que ta somme vaut F(n).

[Dinozzo13]

Ouais, c'est tout bêtement une identification, je trouve donc a=1, b= -1 et c= 1/6

[Dinozzo13]

Mais je comprends pas pourquoi on cherche un polynome ?

[Dinozzo13]

J'reviens dans quelque minutes, je vais déjeuner :we:
A tout de suite

[Skullkid]

Tu es censé trouver a = 1/3, b = 1/2 et c = 1/6 ^^

On cherche un polynôme parce que les polynômes sont des fonctions sympathiques, dont les images sont simples à calculer. Et on est sûr qu'il existe toujours un polynôme de degré k+1 tel que F(X) - F(X-1) = X^k.

[Dinozzo13]

Ah moi je trouve donc a=1/3, b= -1/2 et c= 1/6

[Dinozzo13]

A quoi va nous servir le polynôme en question ?

[dudumath]

la somme des i^k de 1 à n est toujours un polynôme en n de degré k+1