Calcul de la somme des n premières puissances k^j d'entiers

[Skullkid]

A quoi va nous servir le polynôme en question ?

A calculer la somme que tu veux calculer ! En remplaçant i^k par F(i) - F(i-1), tu obtiens une somme télescopique, qui te donne

[Dinozzo13]

Est-ce que la connaissance de la somme des n premiers entiers de 1 à n va nous servir ?

[Ben314]

Dans la méthode consistant à chercher F tel que F(x)-F(x-1)=x^k, il n'y a besoin d'aucune connaissance suplémentaire pour conclure (donc inutile de connaitre la somme 1+2+3+...+n)

[Dinozzo13]

F(x)-F(x-1) = x².

Remarque : Est-ce que ce polynôme F ne vérifirait pas aussi F(x+1)-F(x)=x² ?
Et donc de même, pour tout entier relatif k :
F(x+k)-F(x+k-1)=x² ?
Je pense que ça remonte directement des intégrales et donc il faut nécessairement que la différence des antécédents choisis soit égale à 1.
Ai-je vu juste ?

[Dinozzo13]

Dans la méthode consistant à chercher F tel que F(x)-F(x-1)=x^k, il n'y a besoin d'aucune connaissance suplémentaire pour conclure (donc inutile de connaitre la somme 1+2+3+...+n)

D'accord :++:

[Dinozzo13]

la somme définie par en fonction de l'entier naturel non nul n et sachant que k est un paramètre tel que

Si j'ai bien compris, il n'y a que le polynôme F qui dépend de k, sinon rien d'autre ne dépend de k ?

[Dinozzo13]

Expliquez-moi, dans la somme il n'y a pourtant pas de "0" donc pour le faire figurer dans l'intégrale ?
Serais-ce parce que représente le premier terme 1² ?

[Ben314]

Remarque : Est-ce que ce polynôme F ne vérifirait pas aussi F(x+1)-F(x)=x² ?

Non : Comme F(x)-F(x-1)=x² pour tout x, si tu prend x=y+1, tu obtient
F(y+1)-F(y)=(y+1)² pour tout y qu'évidement tu peut réécrire
F(x+1)-F(x)=(x+1)² pour tout x.
De même, en prenant x=y+k dans l'équation de départ, on a
F(y+k)-F(y+k-1)=(y+k)² pour tout y et tout k.

Si j'ai bien compris, il n'y a que le polynôme F qui dépend de k, sinon rien d'autre ne dépend de k ?

Ben... Oui : on a donc 1^k+2^k+...+n^k=F(n) pour tout entier n et le polynôme F dépend évidement de k (et je ne vois pas bien de quoi d'autre il pourrait dépendre...)

Expliquez-moi, dans la somme il n'y a pourtant pas de "0" donc pour le faire figurer dans l'intégrale ?
Serais-ce parce que représente le premier terme 1² ?

Oui, bien sûr : on a "fabriqué" la fonction f de façon à ce qu'elle vérifie pour tout réel p, donc on a bien (en prenant p=1), (en prenant p=2), etc...

P.S. Toutes tes questions sont plus ou moins liées au broblème de ce que signifie une phrase du style :
" truc_dépendant_de_x = bidule_dépendant_de_x pour tout x "
Il faut bien comprendre que le "pour tout x" est trés trés trés trés important et il faut arriver à comprendre ce que cela veut dire (au début, ce n'est jamais super façile, mais on s'habitue assez vite)

[Dinozzo13]

Si tu veut trouver le résultat avec des intégrales, l'idée consiste à chercher une fonction f (en fait un polynôme) tel que, pour tout dans , on ait .

Par contre je ne vois pas comment l'idée de faire ça est venu, ça ne me serait jamais venu a l'esprit de déterminer une somme avec des intégrales.

la somme définie par en fonction de l'entier naturel non nul n et sachant que k est un paramètre tel que .

Le degré de f est-il le même que k et en dépend-il ?
F est donc de degré k+1 alors ?

[Ben314]

Par contre je ne vois pas comment l'idée de faire ça est venu, ça ne me serait jamais venu a l'esprit de déterminer une somme avec des intégrales.

L'idée peut (???) venir à l'esprit quand on se dit que l'on ne sait pas trop quoi faire d'une somme de réels "quelconques" mais que, vu que l'on a la relation de Chasles pour les intégrales, on sait trés bien quoi faire d'une somme d'intégrales dont les bornes "s'emboitent" les un dans les autres.
Par contre, on peut aussi voir qu'au fond, les intégrales ne servent pas à grand chose ici (si ce n'est peut-être à mieux comprendre pourquoi les sommes se simplifient aussi bien) car, sans parler d'intégrales, si on dit que l'on cherche une fonction F telle que p^k=F(p)-F(p-1) on a alors :
1^k+2^k+3^k+...+n^k = (F(1)-F(0)) + (F(2)-F(1)) + (F(3)-F(2)) + ... + (F(n)-F(n-1)) = F(n)-F(0)
C'est ce que l'on appelle une "somme téléscopique" (dixit Skullkid)

Le degré de f est-il le même que k et en dépend-il ?
F est donc de degré k+1 alors ?

Oui, le degrés de f est k donc celui de F est k+1. Pour le voir, il faut regarder un peu précisément l'équation F(x+1)-F(x)=x^k que l'on a à résoudre (i.e. on cherche les coeffs. de F).
En fait, il faut voir que, si F(x) est un polynôme quelconque de degrés d alors F(x+1)-F(x) est un polynôme de degrés d-1 donc, pour que ça marche, il faut que d=k+1.

[Ericovitchi]

un autre exemple car on parle toujours de la somme des carré ou des cubes dans les exercices mais la somme des puissances 4,5,6 c'est quoi ?



et alors évidemment la question c'est "est-ce que l'on peut généralise quelque chose ?

Alors il y a une première remarque c'est que :

Donc le coef de n^k c'est (k+1)/2
et le coef de ?
la liste des coef de 2 à 8 c'est : 1/2;1;5/3;5/2;7/2;14/3;6
en les multipliant par 6 on obtient : 3;6;10;15;21;28;36 Ca ne vous rappelle rien ?
On les retrouve dans la diagonale du triangle de pascal.
Transcris dans la formule, ça donne :


je vous épargne la suite mais on peut continuer :


Et donc la conclusion de l'histoire, c'est qu'il existe une suite de nombres particuliers :
f0=1 ; f1=1/2 ; f2=1/6 ; f3=0 ; f4=-1/30 ; f5=0
Les sont appelés «Nombres de Faulhaber»
et les sommes s'écrivent :

Mais comment calculer tous les nombres de Faulhaber ?

Et bien si on pose n=1 dans la formule on trouve la suite de formules :

C'est une suite d'équations que l'on peut résoudre successivement.
Mais il y a des astuces. Il faut introduire la fonction dite génératrice de
Faulhaber :

on montre en effet assez facilement que et on en déduit F(x)
Euler a introduit une autre série génératrice :

Avec les nombres de bernouilli.
la relation entre les nombres de bernouilli et les nombre de Faulhaber c'est :
B(-x)=F(x) (un bon exercice ;+)
et donc
la formule avec les nombres de Bernouilli c'est donc :


Vous voyez, il y a de quoi s'amuser avec la somme des puissances des nombre !!

[Dinozzo13]

En effet oui !
Dis-moi, comment fais-tu pour mettre du word sur tes messages ?

[Ben314]

f0=1 ; f1=1/2 ; f2=1/6 ; f3=0 ; f4=-1/30 ; f5=0
Les sont appelés «Nombres de Faulhaber»

C'est chez qui que les bernouillis s'apellent "Faulhaber" ? (c'est une vrai question, j'avais jamais entendu ce nom...)
Aprés, si tu t'interesse à ce type de formules "générales" sur la nature de S_k, je pense qu'il est bien plus malin d'utiliser la méthode de mon premier post [#8 du 19/02/2010, 09h39] où les coefficients binomiaux apparaissent trés naturellements et qui donne immédiatement une formule explicite reliant les différents S_k ainsi (aprés un minuscule calcul) qu'une formule de récurrence pour le calcul des nombres de bernouillis...

[Dinozzo13]

C'est quoi les nombres de Faulhaber et de Bernouilli ?

[Dinozzo13]

un autre exemple car on parle toujours de la somme des carré ou des cubes dans les exercices mais la somme des puissances 4,5,6 c'est quoi ?



et alors évidemment la question c'est "est-ce que l'on peut généralise quelque chose ?

Alors il y a une première remarque c'est que :

Donc le coef de n^k c'est (k+1)/2
et le coef de ?
la liste des coef de 2 à 8 c'est : 1/2;1;5/3;5/2;7/2;14/3;6
en les multipliant par 6 on obtient : 3;6;10;15;21;28;36 Ca ne vous rappelle rien ?
On les retrouve dans la diagonale du triangle de pascal.
Transcris dans la formule, ça donne :


je vous épargne la suite mais on peut continuer :


Et donc la conclusion de l'histoire, c'est qu'il existe une suite de nombres particuliers :
f0=1 ; f1=1/2 ; f2=1/6 ; f3=0 ; f4=-1/30 ; f5=0
Les sont appelés «Nombres de Faulhaber»
et les sommes s'écrivent :

Mais comment calculer tous les nombres de Faulhaber ?

Et bien si on pose n=1 dans la formule on trouve la suite de formules :

C'est une suite d'équations que l'on peut résoudre successivement.
Mais il y a des astuces. Il faut introduire la fonction dite génératrice de
Faulhaber :

on montre en effet assez facilement que et on en déduit F(x)
Euler a introduit une autre série génératrice :

Avec les nombres de bernouilli.
la relation entre les nombres de bernouilli et les nombre de Faulhaber c'est :
B(-x)=F(x) (un bon exercice ;+)
et donc
la formule avec les nombres de Bernouilli c'est donc :


Vous voyez, il y a de quoi s'amuser avec la somme des puissances des nombre !!

Merci pour ce complément d'information :++: :++:
La "série" comme tu dis est un autre cas que tu traites, elle n'a rien à voir avec la première généralisation que tu as faite ?
Je ne sais pas encore ce qu'est une série, pourrais-tu me le définir ?

[Ericovitchi]

les nombres de bernouilli sont définis par les formules que j'ai données. Si tu veux des détails : voir wikipedia

[Dinozzo13]

Ok :++:
Petite précision :
Quand tu mets
Le 4 correspond bien au k de mon expression : ?

[Ericovitchi]

oui c'est ça ou encore

[Dinozzo13]

Mais sinon, comment faire pour calculer admettons sans aucun résultat au départ ni ta formule généraliste ? Parce que si on fait la même méthode avec les intégrales, on va arriver à identifier un polynôme de degré 7, et ce sera super lourd, y-a-t il donc un autre moyen ?

[Ericovitchi]

La méthode de proche en proche de Ben ?