Suites d'intégrales
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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Vava03
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par Vava03 » 22 Avr 2021, 19:16
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour répondre à cette question:
Soit la suite (In) définie pour tout entier n par: In = intégrale de 1 à e de x(lnx)^n dx.
Question: démontrer que l=0.
Merci d'avance.
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mathelot
par mathelot » 22 Avr 2021, 20:26
bonsoir,
I est la limite des

?
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Vava03
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par Vava03 » 22 Avr 2021, 20:42
Oui c'est ça.
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mathelot
par mathelot » 22 Avr 2021, 20:50
bonsoir,
1° fais le changement de variable
)
2° majore et minore

par deux suites de limite nulle
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Vava03
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par Vava03 » 22 Avr 2021, 21:26
D'accord merci mais je n'ai pas compris la deuxième étape.
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mathelot
par mathelot » 22 Avr 2021, 22:51

est continue donc bornée sur l'intervalle compact [0;1] On l'encadre

ce qui permet d'encadrer In entre deux intégrales qui tendent vers zéro quand n tend vers l'infini
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Vava03
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par Vava03 » 23 Avr 2021, 06:41
D'accord j'ai compris mais pourquoi lors de la deuxième étape, on a e^2u u^n car si on change la variable, ça fait x(u)^n.
Merci.
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mathelot
par mathelot » 23 Avr 2021, 10:58
 dx)
on pose
)
soit

et

d'où
 dx=\int_{0}^{1} \, e^u u^{n}e^u du=\int_{0}^{1} \, e^{2u} u^{n} du)
on a la majoration:

pour
)
d'où

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Vava03
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par Vava03 » 23 Avr 2021, 11:05
Ah d'accord, merci beaucoup pour votre aide !
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mathelot
par mathelot » 23 Avr 2021, 11:25
ce qu'il faut retenir:
une fonction continue sur un intervalle compact [a;b] est bornée et atteint ses bornes.par exemple sur [0;1]

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