Suites d'intégrales

[Vava03]

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour répondre à cette question:
Soit la suite (In) définie pour tout entier n par: In = intégrale de 1 à e de x(lnx)^n dx.
Question: démontrer que l=0.
Merci d'avance.

[mathelot]

bonsoir,
I est la limite des ?

[Vava03]

Oui c'est ça.

[mathelot]

bonsoir,

1° fais le changement de variable
2° majore et minore par deux suites de limite nulle

[Vava03]

D'accord merci mais je n'ai pas compris la deuxième étape.

[mathelot]

est continue donc bornée sur l'intervalle compact [0;1] On l'encadre



ce qui permet d'encadrer In entre deux intégrales qui tendent vers zéro quand n tend vers l'infini

[Vava03]

D'accord j'ai compris mais pourquoi lors de la deuxième étape, on a e^2u u^n car si on change la variable, ça fait x(u)^n.
Merci.

[mathelot]

on pose soit et
d'où



on a la majoration:

pour

d'où

[Vava03]

Ah d'accord, merci beaucoup pour votre aide !

[mathelot]

ce qu'il faut retenir:
une fonction continue sur un intervalle compact [a;b] est bornée et atteint ses bornes.
par exemple sur [0;1]