Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

par **Dinozzo13** » 16 Juil 2009, 19:31

heu

, je suis un peu perdu dans tout ça :triste: ,serait-il possible de résumer tout ce qu'on a fait depuis que tu as posé comme nouvelle équation (1+3i)x + (-1+5i)y = 3+i [/B] s'il te plaît ? :mur:

par **Djmaxgamer** » 16 Juil 2009, 19:35

leon1789 a écrit:Oui, mais attention, il faut quand même prendre soin de vérifier que 1+i divise (1+3i) et (1-5i). Rien ne le prouve, il faut vérifier.

En clair
- si 1+i divise (1+3i) et (1-5i) alors 1+i est le plus grand au sens de la divisibilité, donc

- si 1+i ne divise pas (1+3i) ou (1-5i) alors c'est 1 le plus grand au sens de la divisibilité, donc

Nous sommes en fait dans le premier cas, ok ?

Parce qu'il est possible ce deuxième cas ? C'est vrai que comme je pensais toujours "le plus grand diviseur" quand je voyais d (ou machin d ou d * machin ou jsais pas quoi ^^) divise truc je pensais tout de suite "d maximal"

t'as un exemple quand même parce que j'ai l'impression, que, si 1+i ne divise pas 1+3i et 1-5i (en supposant...) ça reviendrais a dire qu'on a fait une faute ! (ce qui n'est pas le cas)

Enfin en gros pour moi ca serait comme dire :
(Dans Z) 10 et 20 on regarde les diviseurs positifs :
Pour 10 : 1,2,5,10
Pour 20 : 1,2,4,5,10
Diviseurs communs : 1,2,5,10
10 est multiple de tous les autres diviseurs communs.
On regarde si 10 divise 10 et si 10 divise 20 : c'est le cas 10=10*1 et 20=10*2
Donc 10 est le PGCD de 10 et 20

Pour moi ce que tu me dit la revient à l'avant dernière étape :
"On regarde si 10 divise 10 et si 10 divise 20 : c'est le cas 10=10*1 et 20=10*2"
Dans notre recherche, on a pris les diviseurs communs, donc forcement 10 divise les deux !

EDIT : je crois voir ou tu veux en venir : j'ai vu qu'il étais plus grand au sens de la divisibilité.

J'ai dit (en résumé) : comme il est plus grand, c'est le pgcd
J'aurais du dire : comme il est plus grand des diviseurs communs, alors c'est le pgcd

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 19:38

Dinozzo13 a écrit:heu , je suis un peu perdu dans tout ça :triste: ,serait-il possible de résumer tout ce qu'on a fait depuis que tu as posé comme nouvelle équation (1+3i)x + (-1+5i)y = 3+i [/B] s'il te plaît ? :mur:

petit résumé :

Pour résoudre (1+3i)x + (-1+5i)y = 3+i
on commence par déterminer le pgcd de (1+3i) et (-1+5i)

on a poser d = a+ib = pgcd(1+3i, -1+5i)
d divise 1+3i et -1+5i dans Z[i]
donc |d|² divise |1+3i|² et |-1+5i|²
puis

Comme le pgcd est défini à un facteur inversible près, on retient arbitrairement uniquement

car
-1, i, -i, sont égaux à 1 à un facteur inversibles près
et 1-i, -1+i, -1-i sont égaux à 1+i à un facteur inversibles près

Maintenant, il faut constater les plus grand (au sens de la divisibilité) diviseur commun à 1+3i et -1+5i.
D'une part 1 et 1+i sont diviseurs communs (à vérifier !)
d'autre part 1+i est multiple de 1 , donc 1+i est le plus grand (au sens de la divisibilité) diviseur commun à 1+3i et -1+5i.
==> 1+i = pgcd(1+3i, -1+5i)

Maintenant que l'on connait le pgcd, l'équation a-t-elle des solutions ?

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 19:41

Djmaxgamer a écrit:t'as un exemple quand même parce que j'ai l'impression, que, si 1+i ne divise pas 1+3i et 1-5i (en supposant...) ça reviendrais a dire qu'on a fait une faute ! (ce qui n'est pas le cas)

non, pas d'erreur. Il y a des contre-exemples... dans une prochaine équation, ok ?

par **Dinozzo13** » 16 Juil 2009, 19:41

Je dirais que l'équation n'a pas de solution car 1+i ne divise pas 3+i.

par **Djmaxgamer** » 16 Juil 2009, 19:42

leon1789 a écrit:D'une part 1 et 1+i sont diviseurs communs (à vérifier !)
d'autre part 1+i est multiple de 1 , donc 1+i est le plus grand (au sens de la divisibilité) diviseur commun à 1+3i et -1+5i.
==> 1+i = pgcd(1+3i, -1+5i)

Maintenant que je vois ca, mon intuition par rapport a mon auto-réponse est fausse je le sais ^^

Mais c'est à cause des "plus ou moins" en fait, si je comprends bien, vu notre manière de raisonner, on a des nombres d tels que :
|d|^2 divise |1+3i|^2 et |-1+5i|^2
mais cela n'implique pas qu'ils divisent 1+3i et -1+5i c'est ça ? Il faudrait donc vérifier.

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 19:42

Dinozzo13 a écrit:Je dirais que l'équation n'a pas de solution car 1+i ne divise pas 3+i.

hummm... tu n'as pas vérifié que 1+i divise 1+3i et -1+5i ?

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 19:44

Djmaxgamer a écrit:Mais c'est à cause des "plus ou moins" en fait, si je comprends bien, vu notre manière de raisonner, on a des nombres d tels que :
|d|^2 divise |1+3i|^2 et |-1+5i|^2
mais cela n'implique pas qu'ils divisent 1+3i et -1+5i c'est ça ? Il faudrait donc vérifier.

exact !
On travaille ici par déductions successives, et non par équivalence.

par **Djmaxgamer** » 16 Juil 2009, 19:46

leon1789 a écrit:exact !
On travaille ici par déductions successives, et non par équivalence.

Ok ok pour la vérification :

(1+3i) n'est pas divisible par 1+i donc le pgcd de 1+3i et -1+5i est 1
Evidemment, 1 est un diviseur de 3+i donc l'équation admet des solutions.
[Résolution qu'on a déjà vue, je la fait je posterais JUSTE le résultat (pour les grincheux :p)]

Par contre, quand je dit que 1+3i n'est pas divisible par 1+i, je dois le justifier ? si oui comment ? en posant la division dans C puis en regardant si le résultat donne un entier de Gauss ?

par **Dinozzo13** » 16 Juil 2009, 19:48

leon1789 a écrit:
Maintenant, il faut constater les plus grand (au sens de la divisibilité) diviseur commun à 1+3i et -1+5i.
D'une part 1 et 1+i sont diviseurs communs (à vérifier !)
d'autre part 1+i est multiple de 1 , donc 1+i est le plus grand (au sens de la divisibilité) diviseur commun à 1+3i et -1+5i.
==> 1+i = pgcd(1+3i, -1+5i)

Maintenant que l'on connait le pgcd, l'équation a-t-elle des solutions ?

Là je ne comprends pas :triste:

leon1789 a écrit:
Comme le pgcd est défini à un facteur inversible près, on retient arbitrairement uniquement car
-1, i, -i, sont égaux à 1 à un facteur inversibles près
et 1-i, -1+i, -1-i sont égaux à 1+i à un facteur inversibles près

Et là je ne comprends pas, car je n'ai jamais vu cette notion de facteur inversible.

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 19:51

Djmaxgamer a écrit:(1+3i) n'est pas divisible par 1+i

ben si ! :zen:

!!

Djmaxgamer a écrit:Par contre, quand je dit que 1 n'est pas divisible par 1+i, je dois le justifier ? si oui comment ? en posant la division dans C puis en regardant si le résultat donne un entier de Gauss ?

Il n'y a que les inversibles qui divisent 1.

Mais on peut aussi faire un calcul :

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 19:54

Dinozzo13 a écrit:Et là je ne comprends pas, car je n'ai jamais vu cette notion de facteur inversible.

Les inversibles de Z sont 1 et -1 :
les éléments 6 et -6 sont égaux à un facteur inversible près.
5 et 6 ne sont pas égaux à un facteur inversible près.

Dans Z[i], les inversibles sont 1, -1, i et -i :
les éléments 6 et -6, 6i, et -6i sont égaux à un facteur inversible près.
1+i, 1-i, -1+i et -1-i sont égaux à un facteur inversible près.
1 et 1+i ne sont pas égaux à un facteur inversible près.

Tu vois ?

par **Djmaxgamer** » 16 Juil 2009, 19:55

Dinozzo13 a écrit:Et là je ne comprends pas, car je n'ai jamais vu cette notion de facteur inversible.

Dans Z : facteur inversible c'est 1 ou -1
Je ne saurais pas vraiment te le définir, ce facteur inversible, mais je l'ai compris par analogie.

Dans Z : pgcd(x,y) = C = -C
Donc pgcd(x,y) = C = C * 1 = C * -1

Dans Z[i] par analogie :
pgcd(x,y) = C = C * 1 = C * -1 = C * i = C * -i

Je ne saurais te dire dans quelle autre contexte te le définir ou l'utiliser, mais c'est comme l'élément neutre d'un ensemble (je pense) : un élément caractéristique de l'ensemble.

par **Dinozzo13** » 16 Juil 2009, 19:55

oui mais qu'entends-tu par facteur inversible près ?

par **Djmaxgamer** » 16 Juil 2009, 19:56

leon1789 a écrit:Il n'y a que les inversibles qui divise 1.

Mais on peut aussi faire un calcul :

Je voulais dire 1 + 3i erreur de frappe.

Mais donc je pose la division pour le montrer (comme tu l'as fait, je pense que oui :p)

par **Dinozzo13** » 16 Juil 2009, 19:56

Djmaxgamer a écrit:Dans Z : facteur inversible c'est 1 ou -1
Je ne saurais pas vraiment te le définir, ce facteur inversible, mais je l'ai compris par analogie.

Dans Z : pgcd(x,y) = C = -C
Donc pgcd(x,y) = C = C * 1 = C * -1

Dans Z[i] par analogie :
pgcd(x,y) = C = C * 1 = C * -1 = C * i = C * -i

Je ne saurais te dire dans quelle autre contexte te le définir ou l'utiliser, mais c'est comme l'élément neutre d'un ensemble (je pense) : un élément caractéristique de l'ensemble.

Ah ! ok, je commence à comprendre de mieux en mieux ^^

par **Dinozzo13** » 16 Juil 2009, 19:58

en fait, pour résoudre ce genre d'équations, c'est le début avec tout ce qui concerne PGCD qui est très important, après la fin c'est bidon ^^

par **Djmaxgamer** » 16 Juil 2009, 20:01

Dinozzo13 a écrit:en fait, pour résoudre ce genre d'équations, c'est le début avec tout ce qui concerne PGCD qui est très important, après la fin c'est bidon ^^

Enfin c'est quand même 2 fois plus long et ca fait surtout appel à 50* plus de connaissances (coprs, anneaux, algèbre,...) ! Ce qui le rend encore plus intéressant :zen:

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 20:02

Dinozzo13 a écrit:en fait, pour résoudre ce genre d'équations, c'est le début avec tout ce qui concerne PGCD qui est très important, après la fin c'est bidon ^^

oui, il y a une grosse partie détermination du PGCD (quand on arrive rapidement à montrer qu'il vaut 1, on est content : voir l'équation précédente d'hier)
puis une autre partie calculatoire, c'est l'obtention d'une solution particulière (avec coefficients Bezout, ...)
puis la dernière partie, résoudre l' "équation réduite sans second membre", mais là, c'est du gâteau...

On va terminer ça quand même... :zen:

par **leon1789** » 16 Juil 2009, 20:04

Djmaxgamer a écrit:Enfin c'est quand même 2 fois plus long et ca fait surtout appel à 50* plus de connaissances (coprs, anneaux, algèbre,...) ! Ce qui le rend encore plus intéressant :zen:

Dans un prochain exemple, on verra l'algorithme d'Euclide (étendu) dans Z[i] ...
ok ?

Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

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