Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

[Dinozzo13]

Sans détailler les calculs, je trouve comme solutions :

C'est donc ça la solution alors selon toi ?, je te fait confiance ^^

[Dinozzo13]

Alors pgcd(5+5i, 3+4i) ? :zen:

je me mets en condition, comme si on résolvais ^^.
Je calcule .
Pour cela, je nomme d, un diviseur commun à 5+5i et à 3+4i.
- d divise (5+5i)(5-5i)=50
- d divise (3+4i)(3-4i)=25
Donc d divise et par conséquent .
Donc divise et dans
Je pose d=a+ib avec .
Est-ce que jusque là ça va ?

[Djmaxgamer]

Alors pgcd(5+5i, 3+4i) ? :zen:

Soit d=pgcd(5+5i, 3+4i)
d divise 5+5i et 3+4i
|d|^2 divise |5+5i|^2 et |3+4i|
|d|^2 divise 50 et 25
En posant : d=a+ib avec (a,b) dans Z on a :
|a+ib|^2 divise 50 et 25
a^2+b^2 divise 50 et 25
(a^2+b^2) est dans Z

Les diviseurs communs à 50 et 25, sont, dans Z {1,5,25}
Le couple (a,b) peut donc être :

d peut être alors :

En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :

De ce fait, il suffit de restreindre la recherche à
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1 ou 1+2i ou 3+4i


Ici je vois pas. 3+4i et 1+2i sont aussi grand au niveau de la divisibilité ! (aucun n'est multiple de l'autre)

justement x) puisque

Comme on a et donc 1+2i ne peut être pgcd de 5+5i et 3+4i car il ne divise pas 3+4i.

De plus :

Comme on a et donc 3+4i ne peut être pgcd de 5+5i et 3+4i car il ne divise pas 5+5i.

Dans ce cas :
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1

[leon1789]

je me mets en condition, comme si on résolvais ^^.
Je calcule .
Pour cela, je nomme d, un diviseur commun à 5+5i et à 3+4i.
- d divise (5+5i)(5-5i)=50
- d divise (3+4i)(3-4i)=25
Donc d divise et par conséquent .
Donc divise et dans
Je pose d=a+ib avec .
Est-ce que jusque là ça va ?

oui, ça commence comme ça... :zen:

[leon1789]

Les diviseurs communs à 50 et 25, sont, dans Z {1,5,25}
Le couple (a,b) peut donc être :

d peut être alors :

En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :

De ce fait, il suffit de restreindre la recherche à
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1 ou 1+2i ou 3+4i

... oui, on poursuit comme ça.

Ici je vois pas. 3+4i et 1+2i sont aussi grand au niveau de la divisibilité ! (aucun n'est multiple de l'autre)

avant de chercher les plus grand diviseur (au sens de la divisibilité), il faut vérifier qu'on a bien des diviseurs et uniquement des diviseurs communs de 5+5i et 3+4i :zen: ce n'est pas encore prouvé... hé hé hé ...

[Djmaxgamer]

:!: avant de chercher les plus grand diviseur (au sens de la divisibilité), il faut vérifier qu'on a bien des diviseurs et uniquement des diviseurs communs de 5+5i et 3+4i :zen: ce n'est pas encore prouvé... hé hé hé ...

C'est fait (edité) :p

[Djmaxgamer]

oui, ça commence comme ça... :zen:

Je suis pas d'accord il dit dans son post que le pgcd est de 25...

[...]
Pour cela, je nomme d, un diviseur commun à 5+5i et à 3+4i.
- d divise (5+5i)(5-5i)=50
- d divise (3+4i)(3-4i)=25
Donc d divise et par conséquent .
[...]
Est-ce que jusque là ça va ?

La non (je crois)

[leon1789]

Soit d=pgcd(5+5i, 3+4i)
d divise 5+5i et 3+4i
|d|^2 divise |5+5i|^2 et |3+4i|
|d|^2 divise 50 et 25
En posant : d=a+ib avec (a,b) dans Z on a :
|a+ib|^2 divise 50 et 25
a^2+b^2 divise 50 et 25
(a^2+b^2) est dans Z

Les diviseurs communs à 50 et 25, sont, dans Z {1,5,25}
Le couple (a,b) peut donc être :

d peut être alors :

ok jusqu'ici !

En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :

là,non en fait.

égaux à un facteur inversible ok
ne sont pas tous égaux à un facteur inversible
idem

--> les regroupements sont 4 par 4 (car il y a 4 inversibles) . Là tu regroupes par 8 ! :zen:

[leon1789]

Je suis pas d'accord il dit dans son post que le pgcd est de 25...

exact (merci), j'ai lu trop vite, il faut corriger :

je me mets en condition, comme si on résolvais ^^.
Je calcule .
Pour cela, je nomme d, un diviseur commun à 5+5i et à 3+4i.
- d divise (5+5i)(5-5i)=50
- d divise (3+4i)(3-4i)=25
Donc d divise

et par conséquent . non , pas encore, on ne connait pas le pgcd de (5+5i) et (3+4i)...

Donc divise et dans
Je pose d=a+ib avec .
Est-ce que jusque là ça va ?

[Djmaxgamer]

ok jusqu'ici !


là,non en fait.

égaux à un facteur inversible ok
ne sont pas tous égaux à un facteur inversible
idem

Oula oO je pense que tu t'es trompé...enfin :





La si je me trompe bien en disant ça je ne vois absolument pas pourquoi...

EDIT : j'ai vu ton "4 par 4" j'ai compris...jrefrais un message avec la résolution

[leon1789]

La si je me trompe bien en disant ça je ne vois absolument pas pourquoi...

Ce sont les qui te trompent.

--> les regroupements sont 4 par 4 (car il y a 4 inversibles) . Là tu regroupes par 8 !

les éléments associés à 1 sont i, -1 et -i
ceux associés à 1+2i sont -2+i, -1-2i et 2-i (pas davantage)
ceux associés à 1-2i sont -2-i, -1+2i et 2+i (c'est tout)
idem pour les

[Dinozzo13]

J'ai du mal à te suivre Djmaxgamer, pourrais-tu aller un peu moins vite et résumer tout ce que tu as fait depuis le début s'il te plaît ^^

[Djmaxgamer]

Soit d=pgcd(5+5i, 3+4i)
d divise 5+5i et 3+4i
|d|^2 divise |5+5i|^2 et |3+4i|
|d|^2 divise 50 et 25
En posant : d=a+ib avec (a,b) dans Z on a :
|a+ib|^2 divise 50 et 25
a^2+b^2 divise 50 et 25
(a^2+b^2) est dans Z

Les diviseurs communs à 50 et 25, sont, dans Z {1,5,25}
Le couple (a,b) peut donc être :

d peut être alors :

En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :


Ca a l'air mieux ?


(ok dinozzo juste je finis juste j'en refrais un plus détaillé (au grand malheur de certains :p) )

[leon1789]

divise et dans
Je pose d=a+ib avec .
Est-ce que jusque là ça va ?

oui, maintenant, il faut que tu trouves les entiers qui divisent à la fois |5+5i|² et |3+4i|²

Ces diviseurs communs, il faut ensuite les écrire sous la forme a²+b²...

[Dinozzo13]

Soit d=pgcd(5+5i, 3+4i)
d divise 5+5i et 3+4i
|d|^2 divise |5+5i|^2 et |3+4i|
|d|^2 divise 50 et 25
En posant : d=a+ib avec (a,b) dans Z on a :
|a+ib|^2 divise 50 et 25
a^2+b^2 divise 50 et 25
(a^2+b^2) est dans Z

Pourrais-tu être un peu plus précis j'ai du mal à comprendre.

Les diviseurs communs à 50 et 25, sont, dans Z {1,5,25}
Le couple (a,b) peut donc être :

d peut être alors :

En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :


Ca a l'air mieux ?


(ok dinozzo juste je finis juste j'en refrais un plus détaillé (au grand malheur de certains :p) )

Là aussi, pourrais-tu être un peu plus précis j'ai du mal à comprendre.

[leon1789]

En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :
ok
ok
ok
ok

oui, c'est bon là.
Donc pgcd(5+5i, 3+4i) est parmi 1 , 1+2i , 1-2i , 3+4i , 3-4i

mais lequel ? :zen: (divisibilité...)

[Djmaxgamer]

(je remet le début pour que ce soit plus clair)


Soit d=pgcd(5+5i, 3+4i)
d divise 5+5i et 3+4i
|d|^2 divise |5+5i|^2 et |3+4i|
|d|^2 divise 50 et 25
En posant : d=a+ib avec (a,b) dans Z on a :
|a+ib|^2 divise 50 et 25
a^2+b^2 divise 50 et 25
(a^2+b^2) est dans Z

Les diviseurs communs à 50 et 25, sont, dans Z {1,5,25}
Le couple (a,b) peut donc être :

d peut être alors :

En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :

De ce fait, il suffit de restreindre la recherche à
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1 ou 1+2i ou 1-2i ou 3+4i ou 3-4i

Puisque

Comme on a et donc 1+2i ne peut être pgcd de 5+5i et 3+4i car il ne divise pas 3+4i.

De plus :

Comme on a et donc 3+4i ne peut être pgcd de 5+5i et 3+4i car il ne divise pas 5+5i.

Et encore :

Comme on a et donc 3-4i ne peut être pgcd de 5+5i et 3+4i car il ne divise pas 3+4i.

Et encore :


Comme on a donc 1-2i divise 3+4i
De même :

Comme on a donc 1-2i divise 5+5i

1-2i est un multiple commun à (3+4i) et (5+5i)
De plus, 1-2i est multiple de 1, donc 1-2i est plus grand au niveau de la divisibilité que 1.
Dans ce cas :
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1-2i

oui, c'est bon là.
Donc pgcd(5+5i, 3+4i) est parmi 1 , 1+2i , 1-2i , 3+4i , 3-4i

mais lequel ? :zen: (divisibilité...)

Pourquoi un dans la citation ? une erreur ?

[leon1789]

Pourrais-tu être un peu plus précis j'ai du mal à comprendre.
Là aussi, pourrais-tu être un peu plus précis j'ai du mal à comprendre.

tu sais, pour calculer le pgcd, il y a une autre méthode dont on n'a pas encore parlé. Elle est moins "bidouilleuse" que celle qu'on est en train de faire. Elle ressemble à l'algorithme d'Euclide que tu connais dans Z. Peut-être tu la comprendras plus facilement. Ca serait peut-être intéressant de la voir. C'est moins de "bidouilles", et davantage méthodique... A toi de voir.

[Dinozzo13]

Soit d=pgcd(5+5i, 3+4i)
d divise 5+5i et 3+4i
|d|^2 divise |5+5i|^2 et |3+4i|
|d|^2 divise 50 et 25
En posant : d=a+ib avec (a,b) dans Z on a :
|a+ib|^2 divise 50 et 25
a^2+b^2 divise 50 et 25
(a^2+b^2) est dans Z

Les diviseurs communs à 50 et 25, sont, dans Z {1,5,25}
Le couple (a,b) peut donc être :

d peut être alors :
Donc selon toi voici comment on trouve ce PGCD
En regroupant les regroupant en égaux à un facteur inversible près :
De ce fait, il suffit de restreindre la recherche à
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1 ou 1+2i ou 1-2i ou 3+4i ou 3-4i

Puisque

Comme on a et donc 1+2i ne peut être pgcd de 5+5i et 3+4i car il ne divise pas 3+4i.

De plus :

Comme on a et donc 3+4i ne peut être pgcd de 5+5i et 3+4i car il ne divise pas 5+5i.

Et encore :

Comme on a et donc 3-4i ne peut être pgcd de 5+5i et 3+4i car il ne divise pas 3+4i.

Et encore :


Comme on a donc 1-2i divise 3+4i
De même :

Comme on a donc 1-2i divise 5+5i

1-2i est un multiple commun à (3+4i) et (5+5i)
De plus, 1-2i est multiple de 1, donc 1-2i est plus grand au niveau de la divisibilité que 1.
Dans ce cas :
pgcd(5+5i, 3+4i) = 1-2i

Voici donc comment on détermine, selon toi, pgcd(5+5i, 3+4i) ?

[Djmaxgamer]

enfin selon moi...avec l'aide leon1783 surtout hein ^^

mais c'est ce qu'on a vu aujourd'hui oui (reste a savoir si le résultat est le bon =D)
T'as un endroit ou tu comprends pas ? (si jamais tu veux essayer de le refaire encore, j'essayerais de pas le faire à ta place, de te laisser comprendre ^^)