je suis bloquée à partir de la question A)3) et tout le reste
En espèrant pouvoir être aider
merci d'avance
A) Etude de deux suites
On pose pour tout entier n >(ou égal) à 1 :
Un = 1+1/1!+1/2!+.... + 1/n! et Vn = Un+ 1/nn!
1) calculer U1, U2, U3, V1, V2 et V3
2) Démontrer que la suite (Un) est croissante (strictement) et que la suite (Vn) est décroissante (strictement).
3) Déterminer la limite quand n tend vers + l'infini de 1/nn! et en déduire que les suites sont adjacentes.
4) On pose L leur limite commune. déterminet un encadrement de L d'amplitude inférieure à 10^-3 . Que peut-on conjecturer sur la valeur exacte de L ?
B) Détermination exacte de L.
Soit n entier fixé ( n> ou égal à 1). On pose pour tout x [0,1] :
f(x) = (1+x/1! + x²/2! + ...+ x^n/n!)e^-x
1)a) Calculer f(0) et vérifier que f(1) = Une^-1
b) Démontrer que f est dérivable sur [0,1] et que f'(x) = -(x^n)/(n!)e^-x
En déduire que Un<(ou égal) à e
2) On pose, pour x [0,1] : g(x) = f(x)+ x/n!
a) Calculer g'(x) et démontrer que g est croissante sur [0,1].
b) En déduire que e-e/n! < (ou égal) à Un
3) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de L.
C) e est irrationnel
Formulons l'hypothèse que e est rationnel, c'est à dire qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e = p/q
1) Justifier l'encadrement Uq < p/q < Vq. En déduire que N = pq! -qq! Uq est une entier tel que 0