Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

[Dinozzo13]

pourquoi ? intuition ?

non ^^, d divise (1+3i) , donc divise ,
donc divise ,
divise donc d=1+3i.

[leon1789]

non ^^, d divise (1+3i) , donc divise ,
donc divise ,
divise donc d=1+3i.

non, ...donc d divise 1+3i ... et ça tourne en rond.

[Dinozzo13]

:mur: t'as raison, on tourne en rond, alors on fait quoi ?

[leon1789]

d divise 1+3i dans Z[i],
donc il existe tel que

donc
donc

Maintenant, on écrit d=a+ib avec .
donc
d'où
On sait que est un entier,
donc l'entier divise 10 dans Z

Quel sont les couples d'entiers a,b possibles ?

[Dinozzo13]

ça voudrait dire qu'il faut résoudre K=10,
j'ai une solution particulière : (a,b)=(1,3)

[leon1789]

j'ai une solution particulière : (a,b)=(1,3)

On ne veut pas une solution particulière, on veut connaitre le pgcd de 1+3i et -3+i.

divise 10
= 1 ou 2 ou 5 ou 10
donc (a², b²) = (1,0) ou (0,1) ou (1,1) ou (4,1) ou (1,4) ou (9,1) ou (1,9) !

Il faut traiter tous les cas possibles pour trouver d...je me rend compte qu'il y a un peu trop de cas possibles à traiter... ça ne me plait pas, j'aurais dû choisir une autre équation... On reviendra sur celle-ci après, avec un calcul direct de pgcd dans Z[i] via Euclide...

On change d'équation :
résoudre en x,y dans Z[i] l'équation (1+3i)x + (-1+5i)y = 3+i

Là, c'est ok garanti !

-> Calculer le pgcd de 1+3i et -1+5i en passant par le module comme on a commencé juste au-dessus.

[Dinozzo13]

On change d'équation :
résoudre en x,y dans Z[i] l'équation (1+3i)x + (-1+5i)y = 3+i
.

ok, je suis toujours partant pour une nouvelle équation ^^.

-> Calculer le pgcd de 1+3i et -1+5i en passant par le module comme on a commencé juste au-dessus.

tu veux dire à la page précédente ^^

[leon1789]

ok, je suis toujours partant pour une nouvelle équation ^^.

tu veux dire à la page précédente ^^

oui.

Soit d=pgcd(1+3i, -1+5i)
d divise 1+3i et -1+5i dans Z[i]
donc |d|² divise |1+3i|² et |-1+5i|² dans Z
On pose d=a+ib avec
donc (a², b²) = ? ou ? ...

[Dinozzo13]

j'ai trouvé (a,b)=(1,0) ou (0,1) ou (1,1)

[leon1789]

j'ai trouvé (a,b)=(1,0) ou (0,1) ou (1,1)

oui (a²,b²)=(1,0) ou (0,1) ou (1,1)

car
a²+b² divise 10 et 26, donc divise 2
donc a²+b² = 1 ou 2 (c'est plus restreint que l'équation d'avant !)
donc (a²,b²) = (1,0) ou (0,1) ou (1,1) . OK!

On continue :
il vient ou ou

donc

tu es d'accord ?

On continue...
Rappel : le pgcd est défini à un facteur inversible près.
Par exemple, dans Z, pgcd(4,6) = 2 >0, mais on pourrait dire aussi pgcd(4,6)=-2 .

tu es d'accord ?

Rappel : les inversibles de Z[i] sont 1, i, -1, -i.

Peux-tu trier en regroupant les éléments égaux à un facteur inversible près ?

[Djmaxgamer]

Je te fais le passage au ralenti maintenant :
pgcd(34,13)=1 dans Z
donc il existe u,v dans Z tels que 1 = u.34+v.13
donc il existe évidemment u,v dans Z[i] tels que 1 = u.34+v.13
donc pgcd(34,13)=1 dans Z[i]

La je vois le raisonnement, c'est parfait.
Tu part du pgcd dans Z pour arriver dans Z[i] je pensais que tu partais de "rien" pour arriver au pgcd dans Z[i]. Mais je vois le déroulement c'est bon =)

[Djmaxgamer]

oui (a²,b²)=(1,0) ou (0,1) ou (1,1)

car
a²+b² divise 10 et 26, donc divise 2
donc a²+b² = 1 ou 2 (c'est plus restreint que l'équation d'avant !)
donc (a²,b²) = (1,0) ou (0,1) ou (1,1) . OK!

On continue :
il vient ou ou

donc

tu es d'accord ?

On continue...
Rappel : le pgcd est défini à un facteur inversible près.
Par exemple, dans Z, pgcd(4,6) = 2 >0, mais on pourrait dire aussi pgcd(4,6)=-2 .

tu es d'accord ?

Rappel : les inversibles de Z[i] sont 1, i, -1, -i.

Peux-tu trier de tel sorte de mettre les éléments multiples à un inversible près ensemble ?

J'arrive au même résultat, et si j'ai bien compris, le tri que tu demande est le suivant :

Car :
(je sais pas si on peut marquer ca comme ca, mais est-ce équivalent à : ) je sais qu'évidamment, ça ne peut pas être autre chose...mais écrit comme ça (), c'est juste ?

Et que d'autre par,
(en supposant que l'écriture est juste...)

[leon1789]

J'arrive au même résultat, et si j'ai bien compris, le tri que tu demande est le suivant :

exact !
sont égaux à un facteur inversible près.
et de leur coté aussi.

De ce fait, il suffit de restreindre la recherche à
pgcd(1+3i, -1+5i) = 1 ou 1+i
(j'ai pris un représentant, le plus simple à mon goût, dans chaque regroupement)

OK ?

Maintenant, avec un petit calcul supplémentaire, on peut donner la valeur de pgcd(1+3i, -1+5i) . C'est ... :id:

[Djmaxgamer]

exact !
sont égaux à un facteur inversible près.
et de leur coté aussi.

De ce fait, il suffit de restreindre la recherche à
pgcd(1+3i, -1+5i) = 1 ou 1+i
(j'ai pris un représentant, le plus simple à mon goût, dans chaque regroupement)

OK ?

Maintenant, avec un petit calcul supplémentaire, on peut donner la valeur de pgcd(1+3i, -1+5i) . C'est ... :id:

Intuitivement j'aurais dit 1+i, je pourrais dire (pour les râleurs, je ne detaillerais pas :bad: ) que on a soit |d| = 1 (si d=1) soit |d|=2 (si d=1+i) vu que d est le PLUS GRAND diviseur commun, alors c'est 1+i...mais je ne sais pas si c'est un raisonnement valide...
Puisqu'on m'a dit (niveau terminale) que complexes => pas de notion d'ordre. Donc arriver a trouver un diviseur "le plus grand" ça me paraît compliqué.

[leon1789]

Intuitivement j'aurais dit 1+i, je pourrais dire (en gros) que on a soit |d| = 1 (si d=1) soit |d|=2 (si d=1+i) vu que d est le PLUS GRAND diviseur commun, alors c'est 1+i...mais je ne sais pas si c'est un raisonnement valide...

nan ton raisonnement est faux.

Puisqu'on m'a dit (niveau terminale) que complexes => pas de notion d'ordre. Donc arriver a trouver un diviseur "le plus grand" ça me paraît compliqué.

Bonne remarque : effectivement, il n'y a pas d'ordre " < " sur les complexes.

Quand on dit pgcd dans Z[i], on dit "plus grand" diviseur commun... Plus grand ?? oui, au sens de la divisibilité ! pas au sens de la comparaison < !!

Dans Z, vous savez que le pgcd(x,y) est multiple de tous les diviseurs communs à x et y : c'est donc le plus grand diviseur commun au sens de la divisibilité. C'est cette notion que l'on retient pour Z[i].

ok ?

Alors maintenant, pgcd(1+3i, -1+5i) = 1 ou 1+i ? et pourquoi of course...

[Djmaxgamer]

qu'entends-tu par plus grand au niveau de la divisibilité ? que quand tu divise, le résultat soit le plus petit possible. J'avais pensé à ca aussi, mais si tu divise par 1 et par 1+i le nombre 1+3i, et bien tu te retrouve encore avec des complexes, donc comparaison impossible... enfin la dans ma tête je vois que "comparaison" pour voir lequel est "le plus grand"

[leon1789]

qu'entends-tu par plus grand au niveau de la divisibilité ? que quand tu divise, le résultat soit le plus petit possible. J'avais pensé à ca aussi, mais si tu divise par 1 et par 1+i le nombre 1+3i, et bien tu te retrouve encore avec des complexes, donc comparaison impossible... enfin la dans ma tête je vois que "comparaison" pour voir lequel est "le plus grand"

Ok. C'est pas évident... mais ça va venir vite.

Prenons des exemples .

Diviseurs communs de 18 et 24 : il y a 1, 2, 3, 6
On voit que 6 est multiple de tous les autres diviseurs,
donc c'est lui le plus grand au sens de la divisibilité.

Et si on travaille avec les négatifs ?
Diviseurs négatifs communs de 18 et 24 : il y a -1, -2, -3, -6
Là encore, -6 est multiple de tous les autres diviseurs,
donc c'est lui le plus grand au sens de la divisibilité !

Et si on travaille avec tous : 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
On voit que 6 et -6 sont multiples de tous les autres diviseurs,
donc ce sont eux les plus grands au sens de la divisibilité !
Pas de panique, il y en a deux certes, 6 et -6, mais ils sont égaux
à un facteur inversible près ! :id:

Ok sur ce que signifie est les plus grand au sens de la divisibilité ?

[Djmaxgamer]

Ok je vois, être plus grand diviseur commun au sens de la divisibilité signifie être multiple de tous les autres diviseurs communs.

Comme 1+i est un multiple de 1, soit de tous les autres diviseurs communs à (1+3i) et (-1+5i) alors il est le pgcd de (1+3i) et (-1+5i)

Donc finalement :

[Dinozzo13]

oui (a²,b²)=(1,0) ou (0,1) ou (1,1)

car
a²+b² divise 10 et 26, donc divise 2
donc a²+b² = 1 ou 2 (c'est plus restreint que l'équation d'avant !)
donc (a²,b²) = (1,0) ou (0,1) ou (1,1) . OK!

On continue :
il vient ou ou

donc

tu es d'accord ?

On continue...
Rappel : le pgcd est défini à un facteur inversible près.
Par exemple, dans Z, pgcd(4,6) = 2 >0, mais on pourrait dire aussi pgcd(4,6)=-2 .

tu es d'accord ?

Rappel : les inversibles de Z[i] sont 1, i, -1, -i.

Je suis d'accord ^^

[leon1789]

Ok je vois, être plus grand au sens de la divisibilité signifie être multiple de tous les autres diviseurs.

Comme 1+i est un multiple de 1, soit de tous les autres diviseurs communs à (1+3i) et (-1+5i) alors il est le pgcd de (1+3i) et (-1+5i)

Donc finalement :

Oui, mais attention, il faut quand même prendre soin de vérifier que 1+i divise (1+3i) et (1-5i). Rien ne le prouve, il faut vérifier.

En clair
- si 1+i divise (1+3i) et (1-5i) alors 1+i est le plus grand au sens de la divisibilité, donc

- si 1+i ne divise pas (1+3i) ou (1-5i) alors c'est 1 le plus grand au sens de la divisibilité, donc

Nous sommes en fait dans le premier cas, ok ?