Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

[Dinozzo13]

j'ai essayé d'en résoudre une autre pour comprendre et savoir refaire :
- () : (4-i)x+(2-7i)y=1-5i
--> ={ ( (-2-3i)K+225-475i ; (4-i)K-296+24i ) / }, Mais je ne sais pas si c'est juste :triste: .

[skilveg]

Et sur Z[j], si j'ai bien compris, on arrive à

Euh, si on approche partie réelle et partie imaginaire à 1/2 près, on a une erreur valant en module qui est inférieur à pour des signes bien choisis, non? (C'est le cas si et sont de même signe)

Comment tu obtiens ton ?

D'ailleurs, si on se donne un parallélogramme, quelle est le rayon minimal tel que tout point intérieur soit à distance au plus d'un sommet (en d'autres termes, quelle est la distance maximale d'un point à un réseau)?

PS: Djmaxgamer, tu ne voudrais pas réduire un peu la taille de tes équations? ça prend une tartine à chaque fois...

[leon1789]

13 est un nombre premier. Il admet pour diviseurs
Or 34 n'est pas un multiple de 13.
On a alors

Ce n'est pas la méthode que vous avez employée, a savoir regarder le pgcd de 13 et 34, ce qui est, dans le cas général, bien sur plus juste, mais la je fais ce que j'ai fait par moi même

Oui, je vois ça :we: mais c'est pas correct du coup...
Quand on dit "d divise 34 et 13", c'est sous-entendu "divise dans Z[i]" !.
Or il n'est pas prouvé que 13 est premier dans Z[i] : d'ailleurs, c'est faux puisque 13 = (2+3i)(2-3i) = (3+2i)(3-2i) ... Donc votre argument ne tient pas du tout.

Il vaut mieux utiliser le pgcd de 13 et 34 :
pgcd(34,13) = 1 because Bezout 1 = 34.5 - 13.13 (Bezout, c'est du solide !)

OK ?

[leon1789]

Au passage cette vérification m'a l'air triviale : si on a montre auparavant que (E) avait des solutions, alors le pgcd de 34 et 13 divise 2. Donc soit l'equation est simplifiable (ce qu'il faut faire de suite, vu que le pgcd divise c, la simplification EST possible logiquement) et cette simplification amenera obligatoirement les deux coef. de la nouvelle equation diophantiennes premiers entre eux. Si il n'y a pas de simplification possible (comme ici, pgcd(34,13)=1) alors le pgcd est de 1 donc il y a des solutions. Plus globalement j'ai l'impression (sans l'avoir démontré (!!)) que si (E) admet des solutions, (E0) admet des solutions. Donc verification inutile ? (je pourrais essayer une démonstration j'ai le plan de la démo en tête mais je suis pas encore sur qu'elle tienne la route)... en gros : même si ca fait 2 lignes, c'est vraiment indispensable de montrer que E0 admet des solutions ?

Vous avez raison : dans notre exemple, (E) à des solutions car (E0) a des solutions.

Pour cela utilisons l'algorithme d'Euclide étendu :

Au passage, il faut savoir qu'il existe bien sûr un algorithme d'Euclide étendu dans Z[i]. C'est bon à savoir si un jour on en a besoin.

[leon1789]

Encore une petite remarque.

Comme alors d'après le théorème de Gauss : (...)

Ceci est absolument vrai car Z[i] est un anneau euclidien (principal, factoriel, pour ceux qui connaissent).

Il me semble que tu ne connais pas ces notions d'anneau euclidien, principal, factoriel. Alors il faut juste savoir que tes justifications (absolument correctes !) te sont seulement intuitives : existence de pgcd et théorème de Gauss dans Z[i] ne te sont pas clairement définis et prouvés, donc te sont seulement intuitifs. De manière générale, il faut être prudent avec l'intuition...

On est d'accord ?

[leon1789]

Donc il existe tel que :
(...)
Montrons que k=k'
(...)

Mouais bof, je trouve ça trop laborieux ce passage : il est inutile de considérer k et k'... Ca donne un raisonnement "symétrique en x et y", mais c'est lourd je trouve. Un seul paramètre k suffit pour conclure tout aussi bien... et même plus vite !

[leon1789]

avec k dans ... Z[i] ! :hum:

[leon1789]

Euh, si on approche partie réelle et partie imaginaire à 1/2 près, on a une erreur valant en module qui est inférieur à pour des signes bien choisis, non? (C'est le cas si et sont de même signe)

Comment tu obtiens ton ?

Dans le réseau Z[j], on considère l'intérieur du parallélogramme (losange) P formé par 0, j, j+1 et . Avec les médiatrices de chaque coté, on voit quels points sont les plus éloignés des sommets.
(Remarque inutile : les médiatrices de tout le réseau forment des hexagones.)
Il y a en fait deux points d'éloignement maximal dans P : et . Ils sont de distance au réseau Z[j]. Ok ?

PS: Djmaxgamer, tu ne voudrais pas réduire un peu la taille de tes équations? ça prend une tartine à chaque fois...

+1 : je soutiens skilveg dans sa demande.

[leon1789]

j'ai essayé d'en résoudre une autre pour comprendre et savoir refaire :
- () : (4-i)x+(2-7i)y=1-5i
--> ={ ( (-2+7i)K+225-475i ; (4-i)K-296+24i ) / }, Mais je ne sais pas si c'est juste :triste: .

oui, c'est bon ! (à part la petite coquille)

[leon1789]

Autre équation, un poil plus difficile :
résoudre en x,y dans Z[i] l'équation (1+3i)x + (-3+i)y = 2i
:happy2:

[Dinozzo13]

Autre équation, un poil plus difficile :
résoudre en x,y dans Z[i] l'équation (1+3i)x + (-3+i)y = 2i
:happy2:

Bonjour ! ^^
Je trouve . Or 10 ne divise pas 2i donc je pense que (E) n'admet aucune solution dans

oui, c'est bon ! (à part la petite coquille)

heureusement que t'avait remarqué ce petit détail, je l'avais pas vu :ptdr:

[Djmaxgamer]

2 ptites choses :
Leon, pour ce qui est du raisonnement intuitif, c'est sur, je ne sais pas prouver l'existence d'un pgcd dans Z[i], je ne connaissais pas cet anneau (ni même la notion d'anneau) en venant dans le topic. Quand je recherchais sur le net des choses là dessus ça à l'air d'être du cours de sup...donc pas pour moi (pas encore ^^). Mais ça m'interessais de voir des équations diophantiennes dans Z[i] après je ne suis pas si bête :p je sais résoudre mais je ne comprends pas encore pourquoi x)
Quand à mes équations j'essayerais de ne pas mettre d'étapes intermediaires (à la limite une petite phrase disant ce qu'il se passe par exemple au lieu de 3 lignes, "je factorise, simplifie et ca me donne...")

avec k dans ... Z[i] ! :hum:

Ok c'est parce que la division euclidienne donnais (dans mon raisonnement) il existe k et k' dans Z[i] et non dans Z c'est ça ?
Comme tu l'as dit comme je ne connais pas bien l'anneau Z[i] ca amène à des fautes comme ça.

Mouais bof, je trouve ça trop laborieux ce passage : il est inutile de considérer k et k'... Ca donne un raisonnement "symétrique en x et y", mais c'est lourd je trouve. Un seul paramètre k suffit pour conclure tout aussi bien... et même plus vite !

Tu veux dire comme dinozzo l'as fait ? ou alors direct considerer que k=k' ?

Si tu veux dire la première, notre prof de spé nous avais pourtant dit de jamais faire comme ce qu'il a fait, de toujours prouver que k=k' (mais la encore c'etait dans Z peut être dans Z[i] c'est différent...
Si tu veux dire la deuxieme solution, je suis pas d'accord, on ne peut pas dire ca sans le démontrer (sauf si en prépa on prouve que c'est toujours le cas, encore une fois j'ai pas encore suivis les cours hein :p )

Oui, je vois ça :we: mais c'est pas correct du coup...
Quand on dit "d divise 34 et 13", c'est sous-entendu "divise dans Z[i]" !.
Or il n'est pas prouvé que 13 est premier dans Z[i] : d'ailleurs, c'est faux puisque 13 = (2+3i)(2-3i) = (3+2i)(3-2i) ... Donc votre argument ne tient pas du tout.

Il vaut mieux utiliser le pgcd de 13 et 34 :
pgcd(34,13) = 1 because Bezout 1 = 34.5 - 13.13 (Bezout, c'est du solide !)

OK ?

Ok je comprends mon erreur, mais, prouver que 34 et 13 sont égaux à 1 because Bézout comme tu dis, c'est déjà trouver une solution particulière de l'équation suivante...non ?
Ou alors c'est dire que le le pgcd de 34 et 13 = 1 because Bézout c'est aussi le dire dans Z et non dans Z[i]...donc...même erreur ?

Et même si je suppose que Bézout marche dans Z[i]
Quand on dit "d divise 34 et 13", c'est sous-entendu "divise dans Z[i]"; mais donc il faut que dans Z[i] l'équation 34x+13y=1 admette une solution...
Mais la encore ça pose problème...enfin j'ai un problème avec cette justification...enfin pour trouver une solution, on fait l'algo d'Euclide...mais la encore c'est dans Z[i] et non dans Z...
La source de mon problème je crois que c'est que 34 et 13 sont dans Z et pourtant on résout dans Z[i] (je comprend pourquoi on fait cela mais ça me parait bizarre)

[leon1789]

Je trouve .

faux.

10 a bien un rôle dans l'histoire, mais ce n'est pas pgcd... Regarde, 10 ne divise ni 1+3i, ni -3+i , alors ?!

Ecris ce que tu fais réellement, jusqu'au moment où tu conclus .

[Dinozzo13]

:!: faux.[/TEX].

Dommage :ptdr:

J'ai écrit :
soit d tel que .
d divise (1+3i)(1-3i)=10 et d divise (-3+i)(-3-i)=10 donc d divise or 10 ne divise pas 2i car cela ferait , or .

Se pourrait-il que 10 soit un PPCM dans l'histoire ???

[leon1789]

2 ptites choses :
Leon, pour ce qui est du raisonnement intuitif, c'est sur, je ne sais pas prouver l'existence d'un pgcd dans Z[i], je ne connaissais pas cet anneau (ni même la notion d'anneau) en venant dans le topic. Quand je recherchais sur le net des choses là dessus ça à l'air d'être du cours de sup...donc pas pour moi (pas encore ^^). Mais ça m'interessais de voir des équations diophantiennes dans Z[i] après je ne suis pas si bête :p je sais résoudre mais je ne comprends pas encore pourquoi x)

Oui, tout viendra en son temps. Pour l'instant, tu attaques le morceau de manière "naïve" (je suis aussi passé par là), ça reste intéressant... Mais attention, il y a beaucoup de pièges et de difficultés dans ces "simples" équations linéaires (les équations diophantiennes polynomiales, c'est bien plus difficile !), des travers dans lesquels tu risques de tomber par manque de théorie... pas grave, on fera avec. :zen:

Ok c'est parce que la division euclidienne donnais (dans mon raisonnement) il existe k et k' dans Z[i] et non dans Z c'est ça ?

oui.

Comme tu l'as dit comme je ne connais pas bien l'anneau Z[i] ca amène à des fautes comme ça.

exactement.

Tu veux dire comme dinozzo l'as fait ?

comme dans le message #129 : on considère un certain pour x (ou pour y) puis on reprend une équation pour en tirer y (ou x) en fonction de k.

ou alors direct considérer que k=k' ?

Non pas ça, ce serait une erreur.
Mais remarque bien : dans le message #129, il n'y a même pas de k' !

Si tu veux dire la première, notre prof de spé nous avais pourtant dit de jamais faire comme ce qu'il a fait, de toujours prouver que k=k' (mais la encore c'etait dans Z peut être dans Z[i] c'est différent...

Z ou Z[i], ce n'est pas ça qui y fait.
Je ne comprends pas trop que ton prof refuse... c'est bizarre... tu es certain qu'on est dans la même situation ?

Ok je comprends mon erreur, mais, prouver que pgcd(34,13)=1 because Bézout comme tu dis, c'est déjà trouver une solution particulière de l'équation suivante...non ?

exactement, tout se tient ! (mais regarde bien, il n'y a pas de serpent qui se mort la queue... si tu as peur de ça)

Ou alors c'est dire que le le pgcd de 34 et 13 = 1 because Bézout c'est aussi le dire dans Z et non dans Z[i]...donc...même erreur ?
Et même si je suppose que Bézout marche dans Z[i]
Quand on dit "d divise 34 et 13", c'est sous-entendu "divise dans Z[i]"; mais donc il faut que dans Z[i] l'équation 34x+13y=1 admette une solution...
Mais la encore ça pose problème...enfin j'ai un problème avec cette justification...enfin pour trouver une solution, on fait l'algo d'Euclide...mais la encore c'est dans Z[i] et non dans Z...

Ah, tu te méfis de tes réflexes dans Z et de Z[i] ! :zen: C'est bon, ça commence à venir.

Bon, il faut savoir que
>
la réciproque est fausse en général. La réciproque est vraie dans les anneaux euclidiens (ou principaux), et Z et Z[i] en sont !

Je te fais le passage au ralenti maintenant :
pgcd(34,13)=1 dans Z
donc il existe u,v dans Z tels que 1 = u.34+v.13
donc il existe évidemment u,v dans Z[i] tels que 1 = u.34+v.13
donc pgcd(34,13)=1 dans Z[i]

OK ?
(on lève les sous-entendus petit à petit... avant, hier, on ne pouvait pas rentrer tout de suite dans les détails, sans que tu y sois sensible)

La source de mon problème je crois que c'est que 34 et 13 sont dans Z et pourtant on résout dans Z[i] (je comprend pourquoi on fait cela mais ça me parait bizarre)

34 et 13 appartient à Z[i] certes, mais ce sont surtout des entiers. Or on sait réaliser Bezout facilement dans Z, c'est pour cela qu'on revient à Z dès que possible. Faire du Bezout dans Z[i], c'est plus ch... même si c'est possible.
Remarque aussi que les résultats obtenus sont un peu gros : par exemple, on aurait pu trouver une solution particulière plus simple si on n'était pas passé par Z, mais pour obtenir cette solution plus simple, on aurait souffert davantage...
Il faut ruminer toute la démo, il y a de quoi se poser bcp de questions.

[Dinozzo13]

^^ il va me falloir plus qu'un post vide pour trouver mon erreur.

[leon1789]

Dommage :ptdr:

J'ai écrit :
soit d tel que .
d divise (1+3i)(1-3i)=10 et d divise (-3+i)(-3-i)=10 donc d divise

Voilà, tu viens de prouver rigoureusement que d divise 10 ... dans Z[i]
C'est tout, ça ne veut pas dire d=10 , hein ? :id:

Bon, des diviseurs de 10, il y en a plusieurs... surtout dans Z[i] !

Il faut affiner la recherche de d :
d divise (1+3i) , donc divise ,
donc divise .
Maintenant, on écrit d=a+ib avec .
A vous de continuer.

[leon1789]

^^ il va me falloir plus qu'un post vide pour trouver mon erreur.

:doh: :doh: ha oui, il y a eu fausse manip.

C'est étrange, normalement les posts vides sont refusés par le serveur... :hein:

[Dinozzo13]

Voilà, tu viens de prouver rigoureusement que d divise 10 ... dans Z[i]
C'est tout, ça ne veut pas dire d=10 , hein ? :id:

Mais des diviseurs de 10, il y en a plusieurs... sur dans Z[i] !

Il faut affiner la recherche de d :
d divise (1+3i) , donc divise ,
donc divise .
Maintenant, on écrit d=a+ib avec .
A vous de continuer.

Je dirai que d=1+3i.

:doh: :doh: ha oui, il y a eu fausse manip.

C'est étrange, normalement les posts vides sont refusés par le serveur... :hein:

C'est pas grave ^^.

[leon1789]

Je dirai que d=1+3i.

pourquoi ? intuition ?

C'est pas grave ^^.

Le post est lisible maintenant :zen: