Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

[Dinozzo13]

je pars donc du principe que ce que j'ai fait au post #100 est correct.
en tout cas pour 34u+13v=1 je trouve comme solution particulière après avoir utiliser l'algorithme d'Euclide ^^, (u,v)=(5,-13)

[leon1789]

- Question: est-ce que l'ordre à une importance dans la recherche d'une solution particulière telle que 34u+13v=1, ou 13u+34v=1 est exact aussi ?

:doh: on cherche des coefficients de Bezout, peu importe qu'on les nomme "u et v" ou "v et u".

Exprimer 1 comme une combinaison dans Z de 34 et 13 (ou de 13 et 34 si tu veux !) nous donnera 1 comme une combinaison dans Z[i] de 3-5i et 2+3i,
puis nous donnera une solution particulière de (E).

[leon1789]

je pars donc du principe que ce que j'ai fait au post #100 est correct.
en tout cas pour 34u+13v=1 je trouve comme solution particulière après avoir utiliser l'algorithme d'Euclide ^^, (u,v)=(5,-13)

ok !
Oui, tout repose sur l'algo d'Euclide dans cette histoire de résolution de (E) : Euclide dans Z[i] et dans Z. (Z et Z[i] sont des anneaux euclidiens :zen: )

Maintenant, il faut trouver une solution particulière de 1 = (3-5i).u' + (2+3i).v' avec u' et v' dans Z[i].

[Dinozzo13]

là aussi il faut utiliser l'algorithme d'Euclide car Z[i] est euclidien ^^.
:doh: mais je ne sais pas par quoi commencer.

[leon1789]

là aussi il faut utiliser l'algorithme d'Euclide car Z[i] est euclidien ^^.
:doh: mais je ne sais pas par quoi commencer.

non pas ici, on se sert de 1 = 34.5 + 13.(-13)
avec 34 = (3-5i)(3+5i)
et 13 = (2+3i)(2-3i)

On arrive à 1 = (3-5i)... + (2+3i)...

[Dinozzo13]

ah ! donc la solution particlière de 1=(3-5i)u'+(2+3i)v' est (15+25i ; -26+39i)

[Dinozzo13]

Je pense avoir trouvé, après quelques calculs, l'ensemble des solutions :

S={ / }

[Dinozzo13]

après vérification, ... je pense que je me suis trompé :mur:

[leon1789]

Je pense avoir trouvé, après quelques calculs, l'ensemble des solutions :

S={ / }

On cherche les couples (x,y) dans Z[i] tels que (3-5i)x+(2+3i)y=1+i
Ils s'écrivent (x,y)=(...K + ... ; ...K + ...)
Il faut revoir tes coefficients : ordre, signes, etc.

[Dinozzo13]

S={ / }

Je me suis trompé lors du recopiage sur le post, j'ai inversé les solutions pour x et y, c'est :
S={ / }

[Djmaxgamer]

Je résume pour ne pas me perdre ^^,

On cherche à résoudre l'équation (E) définie sur par :
(3-5i)x+(2+3i)y=1+i (E).

Il faut regarder si (3-5i) et (2+3i) sont premiers entre eux, c-est-à-dire si . Pour cela, on nomme d, un diviseur commun à (3-5i) et à (2+3i).
- d divise (3-5i)(3+5i)=34
- d divise (2+3i)(2-3i)=13
Donc d divise , et par conséquent donc (E) possède des solutions dans .

Ensuite, il faut chercher une solution particulière telle que 34u+13v=1.

Jusque là, tout va bien ?
- Question: est-ce que l'ordre à une importance dans la recherche d'une solution particulière telle que 34u+13v=1, ou 13u+34v=1 est exact aussi ?

Une question, je suis le raisonnement jusque là, mais une chose m'intrigue.

Les nombres de Gauss (ici (3-5i) et (2+3i) ) doivent-ils être premiers entre eux pour que l'équation admette une solution ? Ou, comme l'avait dit dinozzo dans un de ses posts, il faut que le pgcd de ces deux complexes divise le troisième nombre de Gauss, ici, 1+i (comme le pgcd est 1 ici cela revient au même je sais :p mais dans le cas général ?)


Pour la solution particulière, j'ai compris, pour la résolution ensuite, je vais essayer je vous dirais bien, mais normalement je crois que c'est bon.

Je me suis trompé lors du recopiage sur le post, j'ai inversé les solutions pour x et y, c'est :
S={ / }

La condition sur K ne s'écrit pas comme ça... "|" est plus approprié je crois.

[Dinozzo13]

Je me suis trompé lors du recopiage sur le post, j'ai inversé les solutions pour x et y, c'est :
S={ / }

Décidément, y est faux, donc:
S={ ((2+3i)K+(15+25i) ; (-3+5i)K-(26-39i) )/ }

[leon1789]

Je me suis trompé lors du recopiage sur le post, j'ai inversé les solutions pour x et y, c'est :
S={ - / }

exact (:!: au signe...)

[leon1789]

Décidément, y est faux, donc:
S={ ((2+3i)K+(15+25i) ; (-3+5i)K-(26-39i) )/ }

ok ! :zen:

[Djmaxgamer]

A mon avis, dans ce cas, oui ça multiplie par 2 le "basard ambiant".

La résolution se faisait dans C et non dans Z[i], on ne peut pas utiliser les même principes...

[Dinozzo13]

c'est bon, c'est ça !
Je vais résumer tout ça pour être sûr d'avoir compris et pour que les autres puissent mieux comprendre.

[leon1789]

Les nombres de Gauss (ici (3-5i) et (2+3i) ) doivent-ils être premiers entre eux pour que l'équation admette une solution ? Ou, comme l'avait dit dinozzo dans un de ses posts, il faut que le pgcd de ces deux complexes divise le troisième nombre de Gauss, ici, 1+i (comme le pgcd est 1 ici cela revient au même je sais :p mais dans le cas général ?)

Il faut (et il suffit) que le pgcd de ces deux complexes divise le troisième nombre !! voir message #82 par exemple.

[Djmaxgamer]

ok merci =) j'essaye de voir si j'arrive je posterais ma solution =)

[leon1789]

La résolution se faisait dans C et non dans Z[i], on ne peut pas utiliser les même principes...

Que la résolution de cet exercice soit sur C ou Z[i], il est inutile et maladroit,à mon avis, de passer
de 1 équation linéaire à 2 inconnues,
à 2 équations linéaires à 4 inconnues.

Je préfère largement 1 équation linéaire à 2 inconnues, dont (rappel) la résolution sur C est immédiate !

[leon1789]

Décidément, y est faux, donc:
S={ ((2+3i)K+(15+25i) ; (-3+5i)K-(26-39i) )/ }

oui, mais avec