Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

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Dinozzo13
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introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 00:33

Bonsoir, j'aimerais savoir si mon raisonnement est correct, merci d'avance ^^.

Je veux résoudre dans : .
donc une solution particulière de est , car x.
Si désigne une solution générale de alors on a :
.
Or , donc divise .
tel que .
Par suite, il vient : .
D'où S={ }



Clembou
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par Clembou » 14 Juil 2009, 00:36

Dinozzo13 a écrit:Bonsoir, j'aimerais savoir si mon raisonnement est correct, merci d'avance ^^.

Je veux résoudre dans : .
donc une solution particulière de est , car x.
Si désigne une solution générale de alors on a :
.
Or , donc divise .
tel que .
Par suite, il vient : .
D'où S={ }


Bonsoir,

Tes solutions particulières tu les a trouvé au hasard ou... ?? :zen:

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 00:40

je n'ai trouvé qu'une solution particulière : , après (4+k;-6k-3) sont les solution générales, avec k un entier ^^

skilveg
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par skilveg » 14 Juil 2009, 00:40

C'est correct mais c'est un peu maladroit de dire que 6 est premier à 1 (tout le monde est premier à 1!). Par ailleurs la solution particulière n'utilise pas le fait que 6 est premier à 1 (même si dans le cas général tu vas faire un calcul de coefficients de Bézout pour l'avoir).

Bonne soirée

[Pardon, j'écrivais pendant que vous postiez ;))

Clembou
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par Clembou » 14 Juil 2009, 00:43

Dinozzo13 a écrit:je n'ai trouvé qu'une solution particulière : , après (4+k;-6k-3) sont les solution générales, avec k un entier ^^


Ma question, c'était comment tu l'as trouvé ?

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 00:50

Ok, j'ai remarqué que si x=4, 6x4=24 or 6x+y=21 ainsi 24+y=21 d'où y=-3.

Clembou
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par Clembou » 14 Juil 2009, 00:59

Dinozzo13 a écrit:Ok, j'ai remarqué que si x=4, 6x4=24 or 6x+y=21 ainsi 24+y=21 d'où y=-3.


D'accord mais c'est au pif hein :++: La méthode pour trouver les solutions particulières est de remonter l'algorithme d'Euclide...

Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 14 Juil 2009, 00:59

Utilise plutôt l'algorithme d'Euclide, il te donneras le même résultat (surement, je l'ai pas fait) mais ce sera beaucoup plus juste et présentable que : "voilà un couples de solutions particulières, elles sont tombées du ciel"

Rooo grillé

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 01:02

Oui, mais je pense que c'est plus utile lorsqu'on a des nombres grands comme par exemple 4x+2009y=77777777, non ?

Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 14 Juil 2009, 01:06

Et bien teste par toi même : essaye avec ta technique et avec l'algorithme d'Euclide.


Posons x=??? déjà comment le choisir. Et bien le pif.
Posons



Et bam le résultat n'est pas entier.

Bon je sais, si tu pose x=1, ce qui est plus naturel pour commencer, tu trouve une solution. Mais ce n'est pas toujours le cas et tu peux essayer avec beaucoup de valeurs sans aboutir.

Continuons avec ta technique :
Posons



Et bam le résultat n'est pas entier.

Posons



Et bam le résultat n'est pas entier.

etc...le résultat peut mettre un temps fou à arriver. Là encore, ton exemple n'est pas parfait pour illustrer le problème vu qu'avec x=1 ça marche.

EDIT : petite erreur non ça ne marche pas même avec x=1

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 01:10

^^ Il est clair que dans ce cas, 4x+2009y=77777777, je n'ai pas le choix, je dois utiliser l'algorithme d'Euclide.

Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 14 Juil 2009, 01:28


Dans ce cas comme tu l'as compris, tu utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver non pas une solution de mais de :

Pour ensuite les multiplier et trouver le résultat de

Tu utilises pour cela l'algorithme d'Euclide :

Tu n'as même pas besoin d'aller plus loin :

Tu as donc le couple solution particulière de

Mais il est clair que :




Donc le couple solution particulière de

Et ensuite la résolution est triviale, même si on manipule ici des très grands nombres ^^





Comme on a, d'après le théorème de Gauss,



Il existe donc tels que :





Montrons que k=k'
Pour cela remplaçons x et y dans









On a donc démontré que k'=k et on a donc trouvé tous les couples solutions de


Bon c'est un peu lourd et dur à suivre mais avec un nombre à 8 chiffres =/

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 01:29

je suis d'accord, de plus c'est ce que j'étais en train de faire ^^.

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 01:40

Dites-moi, comme en ce moment c'est "arithmétique", je me demandais où trouver des exercices sur les congruences et sur les équation diophantiennes mais avec des entiers complexes, c'est-à-dire dans , parce que je commence à me lasser des entiers, je voudrais bien aller plus loin.

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par Djmaxgamer » 14 Juil 2009, 01:59

Dinozzo13 a écrit:Dites-moi, comme en ce moment c'est "arithmétique", je me demandais où trouver des exercices sur les congruences et sur les équation diophantiennes mais avec des entiers complexes, c'est-à-dire dans , parce que je commence à me lasser des entiers, je voudrais bien aller plus loin.


Ça m'interesserait aussi tient... c'est sur que les entiers à force... ça me lasse entièrement....

----->[]

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 02:07

^^, j'ai beau cherché sur internet mais sans succès alors si vous trouvez quelque chose, merci de me mettre au parfum. Par contre après pour les exercices, je ne sais pas quelles sont les différences entre des entiers et des entiers complexes, ni en quelle classe on voit ça.

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 02:15

une équation diophantienne est de la forme ax+by=c, peut-être qu'une équation diophantienne complexes est de la forme ax+biy=c, avec a,b et c entiers.

Djmaxgamer
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par Djmaxgamer » 14 Juil 2009, 02:18

C entier ? je ne pense pas. Si c'est le cas, alors la partie imaginaire du complexe est nulle, donc automatiquement


EDIT : non pas vraiment si on prend ça peut marcher...mais je doute que ce soit cela.
Je pense plutôt à avec .
Cela me parait plus probable : dans ton cas si on pose : alors :
Résoudre équivaut à résoudre et c'est de nouveau une résolution dans il suffira du multiplier les résultats Y par i et on aura les solutions.

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 02:25

ah oui, ou bien peut-être ax+biy=ci avec a,b et c entiers

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 14 Juil 2009, 02:27

ou alors avec a,b et c des entiers complexes de la forme n+ip avec n et p entiers.

 

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