Introduire des entiers complexes : 1°) dans les équations di

[skilveg]

Soit d tel que .

Ca marche parce que a le bon goût d'être euclidien, ce qui fait qu'on peut appliquer exactement la même méthode que dans pour trouver des solutions particulières.

[Dinozzo13]

J'ai "demandé" à ma TI de me résoudre cette équation...elle me met :



J'ai essayé de voir si leur solution et la mienne se valent. Partons de la mienne :



Remplaçons (comme pour les équations diophantiennes "normales", essayons de voir le rapport entre k' et k (k= ??? * k' ou autre)



Bon là faut s'accrocher ^^



Or d'après mes solutions, avec
Le couple est une solution particulière de donc

Et donc notre relation devient :


Ce qui me donne

Ce qui ne me permet pas de conclure sur la relation entre k et k'...une autre idée ?

Alors, est-ce que ce raisonnement paraît juste ou non ?

[Djmaxgamer]

J'ai trouvé de nouvelles info:
En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, on appelle entier de Gauss les nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers relatifs, c'est-à-dire:
={}
C'est ce qu'on a pris pour résoudre avec :

Soit une équation de la forme ax + by = c où a, b et c sont des entiers de Gauss. Soit d tel que ( pgcd de a et b). Alors cette équation admet des solutions dans si, et seulement si, c est un multiple de d. Je ne sais pas si ça apporte grand chose, mais j'espère qu'au moins ce sera utile, sinon, ça enrichira notre culture ^^.

ok mais comment calculer le PGCD de deux entiers de Gauss ? Par exemple ici, quel est le pgcd de (1-i) et (1+i) ? Je dirais 1 mais comment le savoir et en être sur ? (oui, je viens dme réveiller x) )

[leon1789]

bien tard, mais quand même...

Bonsoir, j'aimerais savoir si mon raisonnement est correct, merci d'avance ^^.

Je veux résoudre dans : .

C'est une blague ? résoudre est instantané : y=21-6x !
D'où

[leon1789]

ok mais comment calculer le PGCD de deux entiers de Gauss ? Par exemple ici, quel est le pgcd de (1-i) et (1+i) ? Je dirais 1 mais comment le savoir et en être sur ?

1-i et 1+i sont multiples l'un de l'autre, et non inversibles,
donc pgcd(1-i, 1+i) n'est pas 1 !

[leon1789]

dans Z[i], résoudre (E)

On multiplie par 1+i de chaque coté (E)
Est-ce que 5i-1 est multiple de 2 dans Z[i] ?
A vous de conclure.

[leon1789]

Alors, est-ce que ce raisonnement paraît juste ou non ?

Pour répondre, je voudrais savoir si tu veux résoudre l'équation dans C ou dans Z[i] ??

[Djmaxgamer]

Vu le raisonnement employé (on ne savais pas l'existence des entiers de Gauss) : la résolution est dans C.

[Djmaxgamer]

Mais donc si je comprends bien :

Pour une résolution dans de :

il faut tout d'abord vérifier si il y a des solutions (comme tu nous l'a montré avec notre exemple), mais ensuite pour les trouver ces solutions comment procéder ?
Et d'ailleurs même dans l'exemple donné, la vérification est assez simpliste. Disons qu'avec : (34+2i)x+(23i-5)y=26+48i la je ne saurais pas du tout comment faire ^^ avant 1+i et 1-i étaient conjugués l'un de l'autre c'est plus facile déjà. Comment formaliser cette vérification ? De plus, comment trouver le PGCD de deux entiers de Gauss ?

Pour une résolution dans de :

Alors dans ce ca ma méthode de résolution convient-elle ? Ou il y a mieux ?

[Dinozzo13]

il faut tout d'abord vérifier si il y a des solutions (comme tu nous l'a montré avec notre exemple).

:doh: excuse, je ne comprends pas, se pourrait-il qu'il n y ait pas de solution ? comment cela se fait-il ?

mais ensuite pour les trouver ces solutions comment procéder ?

Je pense qu'il faut faire comme tu l'as fait à la page 3 je crois, on distingue les parties réelles et imaginaires et on résouds un système.

comment trouver le PGCD de deux entiers de Gauss ?

ça doit pas être dur, le seul problème, c'est le i, je sais que ou que ll=1, mais je ne pense pas que ça serve à grand chose. :triste:

[Dinozzo13]

ok mais comment calculer le PGCD de deux entiers de Gauss ? Par exemple ici, quel est le pgcd de (1-i) et (1+i) ? Je dirais 1 mais comment le savoir et en être sur ?

moi aussi, j'aurais dit que , mais j'en suis pas sur , non plus. :triste: .

Comme il a été dit, les entiers de Gauss forment un anneau euclidien. On parle indifféremment de nombre premier de Gauss ou d'entier irréductible. Le groupe des unités contient quatre éléments {1,-1,i,-i}.
Ainsi un entier de Gauss et dit irréductible si, et seulement si toute division en deux facteurs contient une unité et qu'il n'est pas élément du groupe des unités. 3, -3, 3i et -3i sont appelés nombres premiers de Gauss. Si a et b sont deux entiers de Gauss, alors il existe quatre représentants pour le pgcd (y compris le ppmc)

[Djmaxgamer]

:doh: excuse, je ne comprends pas, se pourrait-il qu'il n y ait pas de solution ? comment cela se fait-il ?

Parce qu'on résout dans et non dans

J'avais résolu dans mais si tu résout dans , en reprenant le même exemple,

-1 et 5 ne sont pas pairs...pas de solutions ?

et donc pas de solutions dans Z[i].
Ou encore :

On multiplie par 1+i de chaque coté (E)
Est-ce que 5i-1 est multiple de 2 dans Z[i] ?
A vous de conclure.

Je te renvoie d'ailleurs à ton propre post ^^

J'ai trouvé de nouvelles info:
En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, on appelle entier de Gauss les nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers relatifs,[...]

Soit une équation de la forme ax + by = c où a, b et c sont des entiers de Gauss. Soit d tel que ( pgcd de a et b). Alors cette équation admet des solutions dans si, et seulement si, c est un multiple de d. Je ne sais pas si ça apporte grand chose, mais j'espère qu'au moins ce sera utile, sinon, ça enrichira notre culture ^^.

Donc si c n'est pas un multiple de d, l'équation n'admet pas de solution dans

Je pense qu'il faut faire comme tu l'as fait à la page 3 je crois, on distingue les parties réelles et imaginaires et on résouds un système.

Cette manière de faire convient parfaitement pour une résolution dans ou en tout cas je ne vois pas comment faire autrement.
Mais pour une résolution dans il existe peut être un moyen de résolution analogue à celui utilisé pour la résolution d'équations diophantiennes dans (qu'on connait très bien), d'où ma question.

ça doit pas être dur, le seul problème, c'est le i, je sais que ou que ll=1, mais je ne pense pas que ça serve à grand chose. :triste:

Ou bien c'est tout le problème justement xD et aussi (et surtout) que le nombre complexe est en deux partie : l'imaginaire et la réelle. Enfin bref attendons une réponse ^^

[ffpower]

Petite remarque:dans Z[i],il y a 4 inversibles(=diviseurs de 1) qui sont 1,-1,i,-i. (alors dans Z les inversibles sont 1 et -1).Pourquoi je parle de ca?Car le pgcd est défini "a un inversible pres".Par exemple,dans Z le pgcd -4 et 6 on dit que c est 2,mais on peut aussi dire que c est -2.Par convention on choisit 2 car il est positif,mais dans les entiers de Gauss,cette convention n a plus lieu d etre .Donc si d est le pgcd de 2 entiers de Gauss a et b,-d,id et -id sont aussi pgcd de a et b.On peut dire que les nombres d,-d,id,-id sont presque egaux,dans le sens ou ils ont meme diviseurs,meme multiples...Donc dans l exemple a=1+i,b=1-i,on a b=-i*a,donc c est comme si on avait a=b:un pgcd de 1+i et 1-i,c est par exemple 1+i..
Dans le cas général,il existe probablement un algo d euclide pour calculer un pgcd,mais je ne le connais pas.Faudrait essentiellement savoir comment effectuer une division euclidienne dans Z[i].

[leon1789]

Pour une résolution dans de :

Alors dans ce ca ma méthode de résolution convient-elle ? Ou il y a mieux ?

Résoudre cela dans C est immédiat (équation de degré 1 !) :
si alors x = (c-by)/a ,
si alors y = (c-ax)/b ,
si alors
si alors

Cela est valable pour tout corps, par uniquement C...

[leon1789]

Dans le cas général,il existe probablement un algo d euclide pour calculer un pgcd,mais je ne le connais pas.Faudrait essentiellement savoir comment effectuer une division euclidienne dans Z[i].

C'est quasiment la même chose que dans Z :
pour tout où , il existe tels que a = bq+r avec |r|<|b|.
(:!: il n'y a pas unicité du couple (q,r) )

Effectivement, avec cette "division euclidienne", on singe complètement l'algo d'Euclide sur Z[i].

[ffpower]

C'est quasiment la même chose que dans Z :
pour tout où , il existe tels que a = bq+r avec |r|<|b|.
(:!: il n'y a pas unicité du couple (q,r) )

Effectivement, avec cette "division euclidienne", on singe complètement l'algo d'Euclide sur Z[i].

oui,ca je le savais,mais la question est comment on effectue cette division dans la pratique.Car d habitude pour prouver cette assertion il me semble que l on passe par des inf de certaines quantités,ce qui n est pas extraordianairement constructif..

[skilveg]

Pour la division euclidienne, on peut la faire comme ça: le stathme sur est le module. Si on a et dans avec , on sait que est approché par un entier de Gauss avec une différence de module inférieure à (faire un dessin de la grille représentant , la distance maximale à est atteinte au centre d'un carré). En arrondissant à l'entier le plus proche les parties entières de la partie réelle et de la partie imaginaire de , on écrit donc avec , donc avec .

On passe bien par un inf (la distance de à ) mais on peut le calculer de manière effective.

Remarque: ce procédé marche encore pour .

[leon1789]

(...) donc avec

Sur Z, avec la division euclidienne "centrée", on a un autre coefficient : , il existe tels que avec


EDIT : et sur Z[j], si j'ai bien compris, on arrive à

[Dinozzo13]

:ptdr: ok, est-ce que vous pourriez résumer s'il vous plaît, en reprenant précisément ce qui a été dit, la méthode de résolution dans de avec , et entiers de Gauss ainsi que toutes les conditions, parce que je suis un peu perdu avec toutes ces nouvelles informations, merci d'avance ^^.

[leon1789]

:ptdr: ok, est-ce que vous pourriez résumer s'il vous plaît, en reprenant précisément ce qui a été dit, la méthode de résolution dans de avec , et entiers de Gauss ainsi que toutes les conditions, parce que je suis un peu perdu avec toutes ces nouvelles informations, merci d'avance ^^.

Voilà, c'est pas très compliqué : on multiplie l'équation initiale par 1+i de chaque coté, il vient alors , ou encore

Est-ce que appartient à Z[i] ?
A vous de conclure.