Inégalité !!!

[bend]

Soient a, b ,c des réels >0 tel que : abc = 1

montrer que : (a²+b²/a+b) + (b²+c²/ b+c) + (c²+a² / a+c) >= 3


est ce que quelqu'un peut memettre sur la voie de soltion SVP

[Ben314]

Bonjour,
Si l'inégalité à démontrer est
(a²+b²)/(a+b) + (b²+c²)/( b+c) + (c²+a²) /( a+c) >= 3
alors je pense que ca marche en commencant par montrer que, pour tout x,y>0, on a (x^2+y^2)/(x+y)>=racine(xy)...

[Zweig]

J'ai une solution, et c'est bien



car l'égalité est atteinte lorsque .

On utilise les lemmes suivants (je te laisse leur démo) :

Lemme 1 (inégalité arithmético-géométrique) : Soient des réels positifs :

Lemme 2 (inégalité arithmético-géométrique) : Soient des réels positifs :

Lemme 3 (inégalité de Cauchy-Schwarz) : Soient des réels positifs :

D'après le lemme 3 :

D'après le lemme 1 :

D'après le lemme 2 :

Ainsi par transitivité : car

D'où le résultat.