Inégalité

[JérémyDubois]

Salut,je tente de résoudre ce problème: Voici ce que j'ai eu peine à trouver (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc

[chan79]

salut
essaie avec a=1 et b=c=-1

Indice:
tu as (a+b)²>=4ab
tu en écris deux autres et tu vois ...

[JérémyDubois]

cela donne 0>-1

[pascal16]

Je pense qu'il s'agit des dimensions d'un pavé droit.
Ton image google drive ne s'affiche pas.

[chan79]

cela donne 0>-1

???
il y a une hypothèse à rajouter pour a, b et c
C'est vite fait avec l'indice que j'ai mis

[JérémyDubois]

en fait il faut faire ouvrir l'image dans un nouvel onglet je crois.
Si vous ne voyez pas l'énoncé le voici:
(a+b)(b+c)(c+a) >= 8(a+b-c)(b+c-a) (c+a-b)
Voici ce j'ai trové pour l'instant, (a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc

[zygomatique]

salut

peux-tu nous donner un énoncé exact et complet ?

[JérémyDubois]

(a+b)(b+c)(c+a) >= 8(a+b-c)(b+c-a) (c+a-b) et a,b,c points d'un triangle


j'ai trouvé que (a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc ensuite je bloque

[zygomatique]

(a+b)(b+c)(c+a) >= 8(a+b-c)(b+c-a) (c+a-b) et a,b,c points d'un triangle


j'ai trouvé que (a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc ensuite je bloque

donc tu additionnes des points et multiplies dessomme de points ...

[chan79]

j'ai trouvé que (a+b)(b+c)(c+a) >= 8abc

pose :
x=a+b-c
y=b+c-a
z=c+a-b
utilise ce que tu as démontré:
(x+y)(y+z)(z+x) >= ...

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Je détaille la méthode de chan79 :

1)

donc

donc

Soient a , b et c les longueurs des côtés d'un triangle , donc en appliquant l'inégalité triangulaire , on a :



Je finis comme chan79 en posant dans l'négalité déjà trouvée :



P.S : je me demande où est-ce qu'il est passé JérémyDubois ?

[JérémyDubois]

Excuses-moi zygomatique je voulais dire les côtés.
Je comprends aymanemaysae mais pourquoi

[JérémyDubois]

Non, en fin de compte j'ai compris merci bcp

[zygomatique]

j'étais parti de l'idée suivante où on pose s = a + b + c :



mais je n'arrivais pas à conclure ... donc j'ai laissé tombé ...

et j'ai trouvé une démonstration où l'auteur conclut directement par ... mais je ne comprends pas pourquoi ...

si une âme charitable pouvait m'éclairer ....

[Lostounet]

j'étais parti de l'idée suivante où on pose s = a + b + c :



mais je n'arrivais pas à conclure ... donc j'ai laissé tombé ...

et j'ai trouvé une démonstration où l'auteur conclut directement par ... mais je ne comprends pas pourquoi ...

si une âme charitable pouvait m'éclairer ....

Hi Zygo,

Applique AM-GM (inégalité arithmético-géométrique) à:

(a+b+c)/3 > (abc)^(1/3)

(ab+bc + ac)/3 > (abc)^(2/3)

Par produit membre à membre:

(a+b+c)(ab+bc+ac) > 9 abc

(ab+bc+ac)*S - abc > 8abc

[zygomatique]

merci ... mais l'auteur le propose comme autre méthode : https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ro ... eChap2.pdf (bas de la deuxième page et suivante)

et je ne vois toujours pas comment conclure directement ...

[Tiruxa47]

Dans la question 3
il développe (b+c)(a+b)(a+c)
en remplaçant en fonction de S, puisque S=a+b+c, on a S-a=b+c... idem pour les autres
il développe et réduit le polynôme de variable S
Ensuite il remplace a+b+c par S et obtient qui s'élimine avec
Il utilise enfin que le produit calculé est supérieur à 8abc d'après le 2° ce qui permet de conclure

[zygomatique]

hhhhhhaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa mais oui ok ... mais quel con suis-je !!!

PS : j'avais bien compris toute le développement (que j'avais trouvé moi-même) mais c'était cette minoration qui m'em...

merci !!