Inégalité...

[mathlegend]

bonjour soient a,b,c et d des réels positifs tels que abcd=1 montrer que a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=10

[mathlegend]

aucune personne

[Ericovitchi]

Tu ne t'embêtes pas trop mathlegend. Tu nous inondes de problèmes genre Olympiade et puis tu attends tranquilos la démonstration. Tu lis un manuel et tu fais tous les exercices des olympiades et tu es au chapitre inégalités, c'est ça ? Ça n'est pas possible qu'un prof te donne ce genre de problèmes. Tu devrais plutôt les écrire dans le chapitre défis ou olympiades d'ailleurs.

Et toi tu as réfléchis à la question ? Tu as des pistes ?

[Ben314]

Si on fixe , que l'on pose , et que l'on cherche le min de l'expression pour tout les tels que , on a :
où et sont des constantes.
Or avec égalité ssi donc
avec égalité ssi .
En raisonant de même avec les autres couples de variables, on voit que, pour minimiser , on doit prendre ce qui conduit au résultat.

Edit : Effectivement, comme Ericovitchi , je me demande si tu cherche un temps soit peu ces égalités ou si tu ne fait que les recopier sans réfléchir.
Les math., c'est en immense parti comme les autres activités : la bonne méthode pour progresser, ce n'est pas de regarder les autres faire, il faut surtout chercher par sois même !!!

[Olympus]

On peut aussi s'en sortir avec des méthodes plus olympiques ^^ :

Le fait que nous assure l'existence de 4 réels strictement positifs tels que .

Donc .

Ce qui est clairement positif par Muirhead vu que et que .

Vu qu'on peut la prouver par Muirhead seul, cela veut automatiquement dire que c'est faisable par AM-GM ou une réécriture sous forme de somme de carrés .

Par exemple : :zen: .

[Ericovitchi]

ha je savais bien qu'on retrouverait la grande spécialité d'Olympus.

Reste à savoir si mathlegend comprend quelque chose à ce que tu as écris (ou ce qu'a écris ben aussi d'ailleurs) ?

[Olympus]

ha je savais bien qu'on retrouverait la grande spécialité d'Olympus.

L'expression était juste symétrique c'est tout :girl2:

En fait, j'ai remarqué que toute inégalité polynomiale symétrique se torche avec une combinaison bien choisie des inégalités de Muirhead et Schur, et une fois qu'on en trouve une, on peut réécrire une autre preuve basée uniquement sur AM-GM ou une réécriture avec des carrés ^^

Là où c'est beaucoup plus hard, c'est quand l'inégalité est uniquement cyclique, dans ce cas-là, bye Muirhead et Schur :ptdr:

[Anonyme]

Reste à savoir si mathlegend comprend quelque chose à ce que tu as écris (ou ce qu'a écris ben aussi d'ailleurs) ?

ou bien ce qu'il écrit :ptdr:

[Ben314]

On peut aussi s'en sortir avec des méthodes plus olympiques ^^ :

Le fait que nous assure l'existence de 4 réels strictement positifs tels que .

Donc .

Ce qui est clairement positif par Muirhead vu que et que .

Vu qu'on peut la prouver par Muirhead seul, cela veut automatiquement dire que c'est faisable par AM-GM ou une réécriture sous forme de somme de carrés .

Par exemple : :zen: .

Je trouve quand même que, dans un cas comme celui là, il est nettement plus élémentaire de montrer la symétrie des solutions...

[mathlegend]

bonjour
on sait que >=
>=
et on a =
alors >=4
de meme facon on obtient le résultat :ptdr: :ptdr:

[Ben314]

bonjour
on sait que >=
>=
et on a =
alors >=4
de meme facon on obtient le résultat ???????

Je vois franchement pas

[ffpower]

ca a l'air de marcher :
ab+cd>2racine(abcd)>2
en regroupant les différents termes par 2, le compte a l'air d'y etre..

edit : en fait on peut même faire plus expéditif : utiliser directement l'inégalité arithmético géométrique pour minorer la somme des 10 termes..

[mathlegend]

oui c'est ca