trouver le minimum de cette expression
Inégalité...
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inégalité...
par mathlegend » 22 Nov 2010, 22:49
soit 
trois réels strictement positifs et vérifier que
<= 3
trouver le minimum de cette expression
}+\frac{y+1}{y(y+2)}+\frac{z+1}{z(z+2)})
trouver le minimum de cette expression
par Ericovitchi » 22 Nov 2010, 22:59
tu es vraiment infatigable mathlegend ! Bon mais là c'est encore un truc pour Olympus, ça !
par Ericovitchi » 23 Nov 2010, 11:49
je l'ai traité comme un problème de programmation linéaire "optimiser une fonction dans un champ de contraintes" et puis j'ai utilisé des algorithmes qui permettent de se déplacer sur les arrêtes du prisme des contraintes pour se diriger vers la solution (genre algorithme du Simplexe).
Donc je ne peux pas te restituer les calculs, ce sont des calculs numériques.
Cela dit, il y a sûrement des méthodes plus simples. Moi je n'ai fait que pour avoir une idée du résultat. Maintenant que l'on connait le point minimum, ça peut inspirer des manipulations algébriques mettant en évidence une fonction de (x-1), (y-1), (z-1) qui s'annule + un truc toujours positif par exemple.
Donc je ne peux pas te restituer les calculs, ce sont des calculs numériques.
Cela dit, il y a sûrement des méthodes plus simples. Moi je n'ai fait que pour avoir une idée du résultat. Maintenant que l'on connait le point minimum, ça peut inspirer des manipulations algébriques mettant en évidence une fonction de (x-1), (y-1), (z-1) qui s'annule + un truc toujours positif par exemple.
par Ben314 » 23 Nov 2010, 12:59
Salut,
Pour tout
tels que 
, on a :
-9xyz\ <br />=\ x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2\ <br />\geq\ 0\ \)
(avec égalité ssi 
) donc
puis
}+\frac{y+1}{y(y+2)}+\frac{z+1}{z(z+2)}\ <br />=\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\right)\ <br />\geq \ \frac{1}{2}\left(\frac{9}{s}+\frac{9}{s+6}\right)\ {\rm vu que } (x+2)+(y+2)+(z+2)=s+6)
Enfin,\ \geq\ \frac{1}{2}\left(\frac{9}{3}+\frac{9}{3+6}\right)\ =\ 2)
Bien entendu, on a égalité partout si et seulement si
et 
, c'est à dire 
Pour tout
Enfin,
Bien entendu, on a égalité partout si et seulement si
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ericovitchi » 23 Nov 2010, 13:24
Ha oui, bien trouvé Ben. j'avais pensé à exploiter (x+1)/x(x+2) =1/2(1/(x+2) + 1/x) mais je n'arrivais pas à majorer les deux en même temps. je n'avais pas pensé à généraliser en x+y+z=s.
Chapeau en tous les cas, car il faut une bonne dose d'intuition pour conduire la démo. :king2:
Chapeau en tous les cas, car il faut une bonne dose d'intuition pour conduire la démo. :king2:
par Olympus » 23 Nov 2010, 14:06
Salut !
Joli Ben ^^
Moi j'ai trouvé par Cauchy-Schwarz et AM-GM :
Par Cauchy-Schwarz :
} + \frac{y+1}{y\left(y+2\right)} + \frac{z+1}{z\left(z+2\right)} \right) \geq \left( x+y+z+6\right) \left( \frac{x+1}{x\left(x+2\right)} + \frac{y+1}{y\left(y+2\right)} + \frac{z+1}{z\left(z+2\right)} \right) \geq \left( \sqrt{ 1 + \frac{1}{x} } + \sqrt{1+\frac{1}{y}} + \sqrt{1+\frac{1}{z}} \right)^2)
Or par AM-GM :
^2 \geq 2 \left( \frac{1}{\sqrt[4]{x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{y}} + \frac{1}{\sqrt[4]{z}} \right)^2 \geq \frac{18}{\sqrt[12]{xyz}} \geq \frac{18}{\sqrt[4]{\frac{x+y+z}{3}}} \geq 18)
D'où le résultat .
Joli Ben ^^
Moi j'ai trouvé par Cauchy-Schwarz et AM-GM :
Par Cauchy-Schwarz :
Or par AM-GM :
D'où le résultat .
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