Inégalité

[Anonyme]

Bonjour,

A votre avis, pour démontrer cette inégalité, vaut-il mieux passer par une méthode directe ou le signe de la différence ?
l'inégalité :
pour tous réels strictement positifs x et y,

(x+y)/(x²+y²)< ou égal à 1/2(1/x+1/y)
Merci d'avance.
Titux

[Sa Majesté]

Salut

Le signe de la différence marche très bien ici

[Zweig]

La méthode directe marche donc aussi très bien.

[Olympus]

Y a pas mieux que celle de Zweig, simple application d'AM-GM avec n=2 ^^

Ou alors (membre de droite) - (membre de gauche), tu multiplies tout par , puis tu développes, l'inégalité devient alors équivalente à :




Ce qui est trivial, donc par enchainement d'équivalences, la première inégalité est aussi vraie .

( je ne pouvais pas y résister :we: )

EDIT : et ça marche aussi avec Muirhead une fois développé car .