Inégalité effrayante

[Olympus]

Bonjour,

j'avoue, c'est une inégalité prise d'une introduction aux séries de Taylor, mais comme c'est aussi faisable avec des outils niveau Première, je m'y suis donc attaqué, même si ça me parait un peu hardcore quand même :doh:

Il s'agit de prouver que :

.

Voici comment j'ai procédé ( mais je crois que j'ai utilisé trop de récurrences ) :

On pose : .

On arrive à constater après quelques tests que la dérivée a-ème s'écrit comme suit :



( à démontrer par récurrence )

Donc :

.

Après quelques tests aussi, on remarque que :



( à démontrer par récurrence )

On pose , et on aura :



Cette dérivée est clairement positive .

On démontre par récurrence que toutes les dérivées ( sauf la dernière dont on s'en fou un peu maintenant, mais pourquoi pas aussi ) s'annulent en 0, et le travail est fait .

Y a pas plus simple ? Déjà, est-ce au moins correct ?

Merci !

[Le_chat]

Bon la démarche me semble correcte. Le truc c'est que tu t'embêtes un peu:
ta dérivée a-ème est fausse:la somme va de "a" à "2n+1", pas de a-1 à 2n+1...ensuite, regarde la dérivée 2n+1 eme...

[Olympus]

Oups, petite erreur à la fin, ce n'est pas ... Je corrige cela ce soir .

[Olympus]

Bon la démarche me semble correcte. Le truc c'est que tu t'embêtes un peu:
ta dérivée a-ème est fausse:la somme va de "a" à "2n+1", pas de a-1 à 2n+1...ensuite, regarde la dérivée 2n+1 eme...

Oki merci pour ta remarque !

[Benjamin]

Bonjour,

Je t'invite à t'inspirer de cette discussion.

[Olympus]

Merci Benjamin, mais j'ai déjà vu cette discussion ( et déjà fait l'exercice évoqué dans ta discussion en classe ) et je ne pense pas qu'il y a une relation quelconque ... ( à part le fait que le (c) par exemple est l'inégalité présentée ici pour n=0 ) .

Sinon, j'ai corrigé les erreurs dans mon premier post, et je pense que c'est bon maintenant .

Enfin, y a-t-il moyen de simplifier un peu ? Parce qu'avec les 3 récurrences, cela tiendrait beaucoup de place dans la rédaction ...

Merci !

[Ben314]

Tu devrais mieux regarder le post donné par benjamin, et en particulier essayer de trouver les questions e), f), g), h), i), j) ... que j'évoque à un moment : n=0 <=> question c) ; n=1 <=> question g) ; n=2 <=> question k) ...
Tu verrais que tout ce que tu as écrit (et en fait même 4 fois plus) tient dans... une seule récurrence et qu'il n'est pas utile de dériver... plus d'une fois.

[Olympus]

Tu devrais mieux regarder le post donné par benjamin, et en particulier essayer de trouver les questions e), f), g), h), i), j) ... que j'évoque à un moment : n=0 question c) ; n=1 question g) ; n=2 question k) ...
Tu verrais que tout ce que tu as écrit (et en fait même 4 fois plus) tient dans... une seule récurrence et qu'il n'est pas utile de dériver... plus d'une fois.

Ah je vois mieux maintenant, même si je n'ai pas encore bien compris .

Justement on dérive "n" fois même avec ta méthode . Car pour prouver le (e), on dérive puis on utilise le (d) pour montrer que la dérivée est positive . Pour prouver le (f), on dérive aussi et on utilise le (e) etc... Certes, les questions sont distinctes, mais on dérive bien "n" fois au total, sauf si une certaine récurrence permettrait de ne devoir dériver que trois fois ( deux fois pour n=0, et une fois lorsqu'on veut montrer que i(n)=>i(n+1) ) .

Mais la récurrence dont tu parles, j'ai du mal à la voir ... Pourrais-tu clarifier un peu plus ?

Merci !

[Ben314]

En fait, il suffit d'utiliser "en cascade" le résultat suivant :

Si et sont deux fonctions dérivables sur telles que et, pour tout , on ait alors, pour tout , on a .
Preuve : Il suffit de constater que, pour , donc est décroissante sur et on en déduit que, pour tout , on a

Partant de l'inégalité connue et en appliquant à répétition le résultat çi dessus, on obtient pour tout :








...etc...
Les qui apparaissent une ligne sur deux viennent bien entendu du fait que, pour appliquer la propriété ci dessus on doit avoir

En fait, cela montre trés précisément que, pour tout et tout , on a :


Comme les 3 fonctions apparaissant dans (C) sont paires, la même inégalité est encore valable sur , par contre, pour l'inégalité (S), comme les trois fonctions sont impaires, l'inégalité est inversée sur .

Bien entendu, tu peut rédiger tout cela avec des symboles "sigma" et écrire avec "amorce" et "hérédité" la récurrence sous entendue dans le "...etc...", mais à mon avis, le résultat ne sera pas plus convainquant que rédigé tel quel et surtout, il perdra en clarté.

[Ben314]

Comme je sais pas quoi faire, je te fait une rédaction avec des sigma et une seule récurrence [les parties 1) et 2) ne sont absolument pas des récurrences]...

Pour tout on défini par
où est la partie entière de .

1) Pour tout

2) Pour tout donc

car
a) pour tout réel
b) Si est pair alors
c) Si est impair , mais, pour , on a .

3) Montrons par réccurence sur que pour tout :
Amorce : Pour pour tout
Hérédité : Supposons que, pour un fixé, on ait pour tout .
Comme , cela signifie que est décroissante sur et donc en particulier que, pour tout , on a

[Olympus]

Wow plus joli que le mien en tout cas, et bien joué pour la partie entière :we:

Merci !