équation diophantienne

[Anonyme]

bonsoir g un petit souci avec mon exo de spé maths:
on s'intérese à au+bv=g avec g PGCD de a et de b
Supposons trouvée une solution particulière ((u0), (v0)) de cette équation; notons (u, v) une autre solution et posons a'=a/g et b'=b/g.

je sais que a'(u-u0)+b'(v-v0)=0 parce ke ça g réussi à le démontrer!

je dois ensuite utiliser le théorème de Gauss pour démontrer qu'il existe un entier relatif k tel ke v-(v0)=ka'; puis en déduire que u=(u0)-kb' et v=(v0)+ka'


et là...je patauge!!
merci d'avance

[becirj]

Bonsoir


a' divise et a' est premier avec b' donc d'après le théorème de Gauss, a' divise c'est à dire qu'il esiste un réel k tel que

En remplaçant par kb', on obtient la seconde égalité.

[fonfon]

Salut, je change de notation mais ça revient au même

soit (E): ax+by=c et (H):ax+by=0, a,b,c entiers non-nuls, x et y inconnues entières.

1)Montrons que (E) admet des solutions ssi PGCD(a,b) divise c.
=> supposons (E) admette des sol. il existe (u,v) ds Z^2 tq au+bv=c soit d=PGCD(a,b),posons a=ad' et b=db' avec PGCD(a',b')=1
c=da'u+db'v donc d divise c
<=supposons d divise c dc il existe d' tq c=dd' de même a=da',b=db' avec PGCD(a',b')=1 or (E) equiv. da'x+db'y=dd' equiv. a'x+b'y=d'
or PGCD(a',b')=1 dc il existe (u,v) ds Z^2 tq a'u+b'v=1
donc a'(d'u)+b'(d'v)=d' donc (E) a des solutions.


2) montrons que l'on peut se ramener au cas où PGCD(a,b)=1

(E) a des sol. ssi d=PGCD(a,b) divise c
on a ax+by=c ssi da'x+db'y=dc'c equiv. a'x+b'y=c' avec PGCD(a',b')=1

3) montrons que si (xo,yo) sol qcq de (E).(x,y) est sol de (E) ssi(x-xo,y-yo) est sol de (H):

=> ax+by=c
alors a(x-xo)+b(y-yo)=ax+by-axo-byo=c-c=0
<= a(x-xo)+b(y-yo)=0 equiv. ax+by=axo+byo=c dc ax+by=c dc (x,y) sol de (E)


resolvons (H): ax+by=0 => ax=-by => a divisa by et b divise ax on utilise gauss PGCD(a,b)=1 dc a div. y et b div. x dc il existe k,l ds Z^tq y=ak et x=bl on remplace et on a que l=-k.
Inversement s'il existe k ds z tq x=-bk et y=al alors ax+by=a(-bk)+b(ak)=0.dc (x,y) sol. de (E).


4)Resolvons (E):
Mq (E) admet une sol. particulière PGCD(a,b)=1 dc il existe u,v ds Z tq au+bv=1 (Bezout) d'où a(uc)+(bv)c=c dc(uc,vc) sol part. de (E).

Mq l'ens des sol. de (E) est de la forme (uc-bk,vc+bk),k ds Z

soit k ds Z.Montrons que (uc-ak,vc+bk) sol de (E).
a(uc-ak)+b(vc+bk)=auc+bvc=c

inversement:soit (x,y) 1 sol de (E), soit ax+by=c
Posons xo=uc et yo=vc
Alors (xo,yo) est 1 sol part. de (E)=

on sait que (x-xo,y-yo) sol de (H) dc il existe k ds Z tq :
x-xo=-bk
y-yo=ak

d'ou x=xo-bk=uc-bk et y=yo+ak=vc+ak

bon je ne sais pas si tu comprendras tout mais c'est la methode générale pour resoudre une equation diophantienne

[Anonyme]

bon alors j'avoue que g pas le courage de voir la grande dém ce soir ms je vais l'imprimer com ça je pourrai retravailler dessus
en revanche ds la première explication un truc m'échappe pour a' et b' st premiers entre eux??? pour moi ils ne le sont pas...
merci

[becirj]

, g étant le pgcd de a et b.
Quand on divise deux nombres par leur pgcd, les quotients sont premiers entre eux, c'est une propriété fondamentale du pgcd.