[Arithmétique] Equation diophantienne à 2 inconnues

[anthony_unac]

Bonjour,

L'approximation de la racine carrée de me conduit vers cette équation :

avec , et entiers naturels
Comment se débrouille t on avec ce type d'équation ?
A chaque fois que je tombe sur ce type d'équation, j'ai l'impression qu'on essaie de résoudre à taton (qu'on fait au cas par cas) mais je ne parviens pas à dégager une méthode de résolution qui tienne la route pour l'ensemble des équations diophantiennes.
A chaud comme ça, j'aurais envie de dire qu'il faut essayer d'exprimer en fonction de ou l'inverse. Considérant que est connue :

Le premier membre me rappelle une identité remarquable connue, il vient :

Et la je peine à poursuivre alors je reviens sur mes pas et je conclus lamentablement en considérant que si et sont suffisamment grand devant alors l'équation devient :
et donc
Autrement dit, je m'attends à avoir grossomodo une valeur de peu différente de sauf que le soucis c'est qu'on s'embête précisément à résoudre cette équation pour approximer et pour la résoudre, on a besoin de la valeur de . Moralité, on tourne en rond ! C'est le chien qui se mord la queue ! Tout ceci est assez brouillon, avez vous une méthode plus propre et surtout plus systématique pour résoudre ce type d'équation ?

[Razes]

C'est l'équation de Pell Fermat.

[anthony_unac]

C'est ce que j'ai cru comprendre en lisant (après coup) un article sur les équations diophantiennes. C'est assez étrange comme nom car les origines semblent bien antérieur à Fermat (mais qu'importe ce n'est qu'un nom).

[mathelot]

lire https://fr.wikipedia.org/wiki/Iouri_Matiassevitch et https://fr.wikipedia.org/wiki/Dixi%C3%A8me_probl%C3%A8me_de_Hilbert

cordialement

[anthony_unac]

lire https://fr.wikipedia.org/wiki/Iouri_Matiassevitch et https://fr.wikipedia.org/wiki/Dixi%C3%A8me_probl%C3%A8me_de_Hilbert

cordialement

Pas de soucis avec ça, j'ai bien compris qu'il n'existe pas de méthode "mécanique" valable pour toutes les équations diophantiennes possibles et imaginables. Mais je suis toujours fasciné par la facilité avec laquelle certains membres du forum parviennent toujours à résoudre ce type d'équation (peu importe la forme, ils parviennent à déterminer une solution voir toutes).
Mais comment font ils ?
Je suis convaincu qu'ils ont d'une part des outils pour y parvenir (ce sont souvent les mêmes qu'ils utilisent) mais aussi une méthodologie particulière qui elle semble être la même.

[Razes]

Tu peux utiliser une suite qui converge vers a racine.

[Pseuda]

Tu peux commencer en remarquant que :
1) a et b sont premiers entre eux (th. de Bezout), mais cela ne semble servir à rien.
2 ) PGCD (a+1 ; a-1) = PGCD (a+1 ; 2), donc c'est 1 ou 2 .

Si PGCD = 1, a+1 et a-1 sont premiers entre eux, donc b² divise a+1 ou a-1, par exemple a+1. Donc a-1 divise n, il y a autant de solutions qu'on en veut (il suffit de choisir n). Par exemple : b=3, a=17, n=32

Par contre,je ne crois pas que cela t'avance de considérer "si a et b suffisamment grands devant 1... " : cela donne une approximation, mais pas une solution.

[zygomatique]

salut

comment arrives-tu à cette équation : a^2 - nb^2 = 1 ??

[anthony_unac]

salut

comment arrives-tu à cette équation : a^2 - nb^2 = 1 ??

En partant de l'identité de Brahmagupta :

Je divise chaque membre par , il vient :

En posant et et en ajoutant à chacun des membres, on obtient :

Une approximation de la racine carrée de sous forme de fraction est alors donnée si la fraction est la plus petite possible :

Autrement dit il faut choisir et tels que le numérateur soit le plus petit possible et le dénominateur le plus grand possible.
Rendre le numérateur le plus petit possible nous conduit à résoudre l'équation :

[anthony_unac]

salut

comment arrives-tu à cette équation : a^2 - nb^2 = 1 ??

En partant de l'identité de Brahmagupta :

Je divise chaque membre par , il vient :

En posant et et en ajoutant à chacun des membres, on obtient :

Une approximation de la racine carrée de sous forme de fraction est alors donnée si la fraction est la plus petite possible :

Autrement dit il faut choisir et tels que le numérateur soit le plus petit possible et le dénominateur le plus grand possible.
Rendre le numérateur le plus petit possible nous conduit à résoudre l'équation :

[anthony_unac]

Tu peux commencer en remarquant que :
1) a et b sont premiers entre eux (th. de Bezout), mais cela ne semble servir à rien.
2 ) PGCD (a+1 ; a-1) = PGCD (a+1 ; 2), donc c'est 1 ou 2 .
.

1/ Alors pourquoi partir la dessus d'entrée de jeu ?
2/ Je ne suis plus. D’où vient cette affaire de PGCD ? Serait ce un résultat classique ?

[Lostounet]

Voici un devoir du niveau Bac+1 que je trouve assez instructif pour aborder le cas bien particulier "5":

http://laetitia2massena.free.fr/DM%2007-13.pdf

ça me fait une petite révision sur les groupes monogènes

[anthony_unac]

Bon, je propose un exemple concret : l'approximation de
**********************************************************************************
Le raisonnement plus haut nous conduirait à résoudre l'équation :

A vu de nez, je ne trouve rien d'évident alors je propose le raccourci suivant :
donc tout en sachant qu'on est plus près de que de dans cette affaire.
J'utilise donc la relation mentionnée plus haut :

En posant , et , il vient :

D'ou on tire l'approximation :

[zygomatique]

avec un développement limité :



pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ...

[anthony_unac]

avec un développement limité :



pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ...

Oui il y a effectivement plusieurs manières d'aboutir à l'approximation mais l'identité de Brahmagupta devenait intéressante (à condition de trouver le bon couple ) au sens ou elle nous conduisait vers une fraction aussi proche que l'on souhaite de
Toute la difficulté réside finalement dans cette difficile équation :

[Lostounet]

En fait je n'ai pas trop compris ton objectif principal:
Tu souhaites résoudre l'équation de Pell-Fermat (c'est-à-dire, pour n fixé, trouver les couples (a ; b) entiers qui vérifient la relation ou bien trouver un moyen de les engendrer tous)
Ou bien

Tu t'intéresses au lien existant entre la racine de n, et le développement en fractions continues ou bien l'approximation de n par une fraction aussi proche que voulu? éventuellement en lien avec la formule de Brahmagupta ou autre (exemple le DL de zygomatique)

(il existe un algorithme simple d'extraction de la racine d'un nombre qui se fait manuellement, quitte à tronquer puis réduire au même denom par exemple)

[anthony_unac]

Je souhaite trouver un moyen "simple" de trouver un couple (a;b) solution ou mieux encore un moyen de les engendrer tous simplement (mais j'ai un doute)
Je m'interesse à une fraction aussi proche que voulu mais pour remettre tout ça dans l'ordre disons que c'est la recherche de l'approximation de n^(1/2) qui m'a conduit vers l'équation de Pell-Fermat

[Lostounet]

Je souhaite trouver un moyen "simple" de trouver un couple (a;b) solution ou mieux encore un moyen de les engendrer tous simplement (mais j'ai un doute)

A mon sens, l'équation de Pell-Fermat n'est pas simple... Pour résoudre une équation diophantienne classique linéaire du type ax + by = c, il faut déjà bien manier l'algorithme d'Euclide étendu, utiliser le lemme de Gauss etc. C'est pas aussi immédiat qu'une équation dans R polynomiale par exemple de petit degré (<= 4) que l'on sait expédier immédiatement avec des formules méchantes.

L'équation de Pell-Fermat (du moins dans les cas que je suis capable de traiter) fait appel à certaines notions comme les groupes (monogènes). Dans le document que j'ai posté plus haut, tu as une résolution (relativement simple - niveau MPSI) d'une équation de Pell-fermat pour le cas n = 5.

[anthony_unac]

Voici peut être une façon de résoudre l'équation :

En exploitant l'idée qu'un carré parfait
L'équation devient alors :

En développant, on obtient :

En retranchant 1 de chaque côté :

Résoudre l'équation revient ainsi à trouver une valeur telle que la somme soit un carré parfait.
On pourrait imaginer un algo du type :
******************************************
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
est il un carré parfait ? NON
...

[anthony_unac]

Dans l'équation de Pell Fermat :
Si avec un entier alors bingo l'équation se résout les doigts dans le nez à l'aide de la méthode de Chakravala : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_chakravala
C'est une méthode expéditive genre 2 ou 3 lignes de calcul et le couple solution apparait