Equation diophantienne - TS Spé

[max]

Bonjour !

J'ai l'équation suivante :

2x + 3y = 78 (E)

Pour résoudre cette équation j'ai bien sur appliqué la méthode de l'équation diophantienne, ce qui ne pose pas de problèmes.

Par contre, j'ai un problème sur la toute première question :

"On se propose de trouver tous les couples de points ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs.
a. Montrer que l'on est ramené à l'équation (E) avec x et y appartenant à l'ensemble Z de nombres entiers relatifs"

Pourriez vous me donner un petit coup de pouce ? :id:

Merci beaucoup!

[chaima]

désolé mais je ne comprend pas ton exercice

[becirj]

Bonjour

Il faudrait vérifier ton texte, il manque quelque chose qui doit être dans le contexte de l'exercice.

[max]

Voici l'énoncé complet :

Dans le plan muni d'un repère orthnormal (O; i ;j), on donne le point A(12;18).
On désigne par B un point de l'axe (O ; i) et par C un point de l'axe (O ; j) tels que (vecteur AB , vecteur AC) = -pi/2. On appelle x l'abscisse de B et y l'ordonnée de C.

1° Démontrer que le couple (x,y) est solution de l'équation (E) : 3x + 3y = 78

2° On se propose de trouver tous les couples (B,C) de points ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs.
a. Montrer que l'on est ramené à l'équation (E) avec x et y appartenant à l'ensemble Z des nombres entiers delatifs.
b. A partir de la définition de B et C, trouver une solution particulière (x0 ; y0) de (E), avec x0 et y0 appartenant à Z.
c. Démontrer qu'un couple (x,y) d'entiers relatifs est solution de l'équation (E) si et seulement si il est de la forme (12+3k ; 18-2k), où k appartient à Z.
d. Combien y a-t-il de couples de points (B,C) ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs, tel que -6 =< x =< 21 et -5 =< y =< 14

Alors comme réponses j'ai mis :

1) J'ai démontré l'équation en utilisant le produit scalaire, ça c'est bon je pense.
2) a. Je ne sais pas trop
b. Je l'ai fait en disant que les coordonnées x et y pouvaient être celle du point A (normalement, c'est bon aussi, bien sur j'ai développé)
c. Là je trouve x = 12 + 3k et y = 2k - 18 alors que je dois trouver 18 -2k. Erreur de l'énoncé ?
d. Ca j'ai trouvé, 2couples possibles quand k=2 ou k=3

Qu'en pensez vous ??
Merci

[becirj]

Pour le 2 a),c'est pratiquement la première question avec comme seule différence que x et y doivent être des entiers.

c) Avec la solution particulière on a soit 3 est premier avec 2 donc 3 divise x-12 soit ou .
En remplaçant dans l'équation on a

d) Je suis d'accord

[max]

Pour le 2 a),c'est pratiquement la première question avec comme seule différence que x et y doivent être des entiers.

c) Avec la solution particulière on a soit 3 est premier avec 2 donc 3 divise x-12 soit ou .
En remplaçant dans l'équation on a

d) Je suis d'accord

salut

merci beaucoup
cependant je ne comprends pas le a° : je ne sais pas comment démontrer que justement x et y doivent être des entiers

merci

[becirj]

Je ne vois pas très bien non plus ce qu'il faut ajouter : dans la première question on a une relation entre tous les couples (x,y) de réels et puisque l'on demande des entiers relatifs, c'est une restriction du cas précédent donc la relation doit être la même mais avec x et y entiers relatifs.

[max]

Je ne vois pas très bien non plus ce qu'il faut ajouter : dans la première question on a une relation entre tous les couples (x,y) de réels et puisque l'on demande des entiers relatifs, c'est une restriction du cas précédent donc la relation doit être la même mais avec x et y entiers relatifs.

En fait j'ai calculé le PGCD de 2 et 3 (bon bien sur on sait qu'ils sont premiers, mais vu qu'il faut tout "argumenter"); je trouve donc 1 2 et 3 premiers.

J'ai dit que d'après la relation de Bezout, il existe au moins deux entiers relatif (appartenant à Z quoi) tels que 2u + 3v = 1
ce qui revient à dire que (2u + 3v)*78 = 1*78

Donc on est bien ramené à l'équation (E) avec x et y appartenant à Z

Qu'en penses-tu?

[becirj]

Je ne sais pas si c'est ce qui est attendu mais c'est correct, tu prouves effectivement que le problème admet des solution entières.

[schyschy]

Bonjours!

Comment faites vous pour résoudre l'inéquation avec x et y de la question d_°)? :triste:

[becirj]

et on veut



On fait de même avec l'expression de y, on arrive à


Les seules valeurs de k qui vérifient les 2 conditions sont 2 et 3, ce qui donne les points (15,14) et (21,12)

[schyschy]

Vielen Dank!!
Merci beaucoup!!
:we:

[schyschy]

Vielen Dank!!
Merci beaucoup!!
:we: