Triangles "recouvrables"

[poiuytreza]

Bonjour,

Voilà un exo des Olympiades Balkaniques de cette année:

On dit qu'une "bande" de largeur l est la zone comprise entre deux droites parallèles distantes de l.
On considère un ensemble S fini de points tels que pour tous A,B,C de S, il existe une bande de largeur 1 qui recouvre ABC.
Montrer qu'il existe une bande de largeur 2 qui recouvre S.

Et plus dur : (question ouverte en fait... :we: ) peut-on trouver une meilleure borne que 2 ?

[Doraki]

Je trouve qu'on peut toujours recouvrir par une bande de largeur < 2.

Et le plus grosse largeur nécessaire que j'ai trouvé pour le moment c'est une bande de largeur sqrt(2), pour un simple carré.

[poiuytreza]

ça je l'avais aussi, mais j'ai pas trouvé mieux...

[nodjim]

Si quelqu'un donne la largeur d'une bande <2, je me fais fort, avec un nombre très limité de points, de rendre impossible le recouvrement.

[Imod]

Allons-y avec 1,9 cm :we:

Je découvre le problème où le moins qu'on puisse dire , c'est que chacun préserve ses secrets :zen:

Imod

[nodjim]

Allons-y avec 1,9 cm :we:

Je découvre le problème où le moins qu'on puisse dire , c'est que chacun préserve ses secrets :zen:

Imod

Il faut bien laisser réfléchir un peu.
6 points qui forment un hexagone régulier. La plus faible épaisseur d'un triangle dont l'un des cotés est une diagonale qui passe par le centre est celle qui est parallèle à ce coté. Si cette épaisseur est de 1, il me semble qu'on ne peut pas couvrir les 6 points avec une bande <2.
Je suis tenté de dire que c'est vrai aussi pour tout polygone régulier à 2+4k cotés.

[poiuytreza]

L'hexagone régulier ne marche pas : il reste les triangles équilatéraux. En fait, si les triangles équilatéraux ont pour hauteurs 1, il suffit d'une bande de largeur

[beagle]

Il faut bien laisser réfléchir un peu.
6 points qui forment un hexagone régulier. La plus faible épaisseur d'un triangle dont l'un des cotés est une diagonale qui passe par le centre est celle qui est parallèle à ce coté. Si cette épaisseur est de 1, il me semble qu'on ne peut pas couvrir les 6 points avec une bande <2.
Je suis tenté de dire que c'est vrai aussi pour tout polygone régulier à 2+4k cotés.

Il y a de fortes chances que je ne comprenne pas bien le problème de base.
Soit l'ensemble S des 6 points d'un hexagone régulier,
tous les triangles doivent ètre recouverts par du 1, et ensuite on recouvre S par du 2 maxi.
Si hexagone régulier ABCDEF, alors les triangles ACE et BDF doivent ètre recouverts par du 1,
semble qu'alors moins de 2 soit largement suffisant pour recouvrir ABCDEF.

[nodjim]

Je sais, je me suis aperçu de ça, ça ne marche pas bien.
La question reste ouverte, et sans doute la réponse de Doraki est la plus vraisemblable.

[beagle]

pour du 1:
un triangle ABC tout seul, recouvert par bande de 1 et de nouveau par la mème bande de 1.
Limite?
Bon, OK, alors plusieurs points alignés sur une seule droite assez éloignés versus le seul point en dehors de la droite qui est près de la droite.La droite parallèle passant par ce point fait du 1 pour tous et recouvre l'ensemble.


pour du 2, on prend deux droites perpendiculaires, de nombreux points sur les deux droites perpendiculaires, de chaque coté du point d'intersection,
alors tous les triangles sont dans un demi-plan et si figure symétrique, losange?, alors c'est du 2 fois le 1 qui est nécessaire.


ça marche?

[beagle]

cela ne démontre pas le problème initial, mais peut-on s'en inspirer?

pour le 1, pas vu que ABC ne sont nécessairement sur un triangle,
donc des points alignés, je ne pense pas que l'on soit autorisé à parler de bande de 1 pour l'épaisseur de la droite, donc le 1 est deux droites parallèles qui coupent le grand segment, et pour toute largeur de bande donnée il en existe une plus petite, donc pour tout 1 il existe 1/2 par exemple.
??