Les dattes à Dattier

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Dattier
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Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 03:02

Salut,

Je vais proposer des énigmes originales de maths qui ont une réponse de moins d'une dizaine de lignes niveaux max agreg.

Cordialement.
Modifié en dernier par Dattier le 06 Juin 2019, 12:55, modifié 1 fois.



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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 12:53

1 : une question de bijectivité résolue par GaBuZoMeu
Soit , et tel que, pour .
Trouver une CNS sur les pour que soit bijective.


2 : caractérisation séquentielle des sigma-compacts résolue par Perroquet
Soit un espace munit d'une topologie, on dit que est sigma-compact si :
pour tout recouvrement infini d'ouvert il en existe un sous-recouvrement dénombrable .

Dans le cas d'un espace métrique, déterminer une caractérisation séquentielle de la sigma-compacité.


3 : Borne sur les sigma-compacts résoule par Perroquet
a/ Existe-t-il une borne du cardinal atteinte sur les compacts métriques ?
b/ Existe-t-il une borne du cardinal atteinte sur les sigma-compacts métriques ?


4 : calcul exact avec la partie entière résolue par Perroquet
Soit tel que . A-t-on ?


5 : suite récurrente non linéaire : résolue par Perroquet
et . Calculer .

Avec la partie entière :
Modifié en dernier par Dattier le 22 Juin 2019, 10:31, modifié 3 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 13:33

6 : inégalité de Jensen+
Soient et

A-t-on ?


7 : fontion sous-lipschitzienne
Soit une fonction de métrique dans .
On dit que est sous-lipschitzienne ssi réel continue croissante tel que et .

Soit fonction quelconque, avec munit d'une norme

A-t-on continue ssi est sous-lipschitzienne ?


8 : Cosinus et liberté résolue par Oty
Existe-t-il tel que soit -libre ?


9 : Fonction polyssante :
Une fonction polyssante est une fonction de dans les réels, tel qu'il existe un polynôme non constant à 4 variables tel que : .

a/ Y-a-t-il des fonctions polyssantes tel quelles soient croissante, 1-lipschtiz ou 1/2-holderienne ?

b/ Existe-t-il P polynôme tel que toutes les fonctions continues de [0,1] dans les réels soit P-polyssante avec les fonctions discontinues non-P-polyssante ?


10 : Série alternée en cascade résolue par Hichamalpha
Soit une série alternée, est-ce que la série de terme générale est aussi alternée ?
Modifié en dernier par Dattier le 11 Juin 2019, 20:58, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 17:42

11 : CNS de bijectivité
Soit un nombre permier, tel que .
Trouver une CNS sur et les coeffs de pour que soit une bijection de dans lui même.

12 : Casser Diffie-Hellman
Montrer que casser Diffie-Hellman, revient à pouvoir calculer avec élement générateur du groupe multiplicatif, sur avec premier.

13 : l'improbable résultat 2
Soit un nombre premier, une sequence finie d'entier distincts de , avec
tel que
et .
A-t-on : ?

14 : Polynôme et diviseur résolue par FLBP et Perroquet


15 : Recouvrement minimal
Soit un corps fini, un entier, on se place dans le -ev .
Combien au minimum faut-il d'hyper-plans pour recouvrir ?
Modifié en dernier par Dattier le 13 Juin 2019, 10:30, modifié 5 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

par GaBuZoMeu » 06 Juin 2019, 17:54

15 : hyperplans affines : , hyperplans vectoriels : .
Je me souviens que tu l'avais déjà posé, et que le résultat t'avait étonné (tu pensais que c'était plus).

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 18:00

Oui, exacte.

PS : il y a aussi le 8 qui a été résolu (sur un autre forum).

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 19:57

16 : L'ensemble de Brouwer
est l'ensemble des fonctions continues avec un point fixe, munit de la norme uniforme.
a/ est-il fermé ?
b/ est-il d'intérieur non vide ?
c/ est-il connexe ?


17 : Toute fonction est-elle continue ? résolue par GaBuZoMeu
Soit une fonction réel quelconque. Existe-t-il, des bijections réels tel que : soit continue ?


18 : la vraie bijection résolue par Perroquet
Si A est en vrai bijection avec B sous parties de et A B alors A=B : (1)
Si A et B finies sous parties de , alors A et B sont en vrai bijection ssi card(A)=card(B) : (2)

Trouvez une définition de la vraie bijection des sous parties de , tel que :
(1) et (2) soient vraies.


19 : Compact radin résolue par Perroquet
Un compact est dit radin, s'il existe tel que et
, avec
Existe-t-il un compact radin ?


20 : commutativité et point fixe
euclidien avec 2 fonctions continues de la boule unité, vers la boule unité, avec 1-lipschitz et .
A-t-on l'existence d'un point fixe commun à et ?
Modifié en dernier par Dattier le 16 Juin 2019, 00:22, modifié 5 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 20:20

21 : Racine scindé résolue par GaBuZoMeu
Soient .
est-il scindé dans ?
Modifié en dernier par Dattier le 11 Juin 2019, 21:00, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 20:35

22 : Racine complexe résolue par GaBuZoMeu
Soient et .
a-t-il au moins une racine non réel ?
Modifié en dernier par Dattier le 11 Juin 2019, 21:02, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 06 Juin 2019, 22:09

23 : Super théorème de l'application ouverte
Soit fonction linéaire bijective de dans lui même. A-t-on continue ?

MMu
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Re: Les dattes à Dattier

par MMu » 07 Juin 2019, 15:39

Pourquoi tant de haine :diable:

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 07 Juin 2019, 16:14

Pourquoi cela ?

Imod
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Re: Les dattes à Dattier

par Imod » 07 Juin 2019, 20:19

Ben , un à la fois ça peut être amusant ( pour certains) mais le paquet en entier c'est vraiment trop lourd :mrgreen:

Imod

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 07 Juin 2019, 20:32

Tu n'en choisies qu'un à la fois, aprés cela ferait trop de fil, je prèfére tout regrouper dans un seul.

MMu
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Re: Les dattes à Dattier

par MMu » 09 Juin 2019, 17:53

Dattier a écrit:1 : une question de bijectivité
Soit , et tel que, pour .
Trouver une CNS sur les pour que soit bijective.

C'est assez facile : est une permutation de

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 09 Juin 2019, 21:51

Oui, mais reste à expliquer pourquoi c'est une CNS.

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Re: Les dattes à Dattier

par GaBuZoMeu » 09 Juin 2019, 23:22

On peut procéder par récurrence sur , en remarquant qu'il y a forcément parmi les , on peut supposer que c'est . Ensuite, les sommes sans sont les nombres pairs entre et , on divise tous les restants par .

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 09 Juin 2019, 23:34

GaBuZoMeu a écrit:Ensuite, les sommes sans sont les nombres pairs...

Pourquoi sont-ils forcément pairs ?

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Re: Les dattes à Dattier

par GaBuZoMeu » 09 Juin 2019, 23:40

Facile à voir. Je te donne une indication : l'ajout de réalise une bijection entre l'ensemble des sommes sans et l'ensemble des sommes avec.

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Re: Les dattes à Dattier

par Dattier » 09 Juin 2019, 23:42

Ok, quand tu sauras résoudre l'énigme n'hésite pas à me biper (le chemin que j'ai en tête n'est pas celui-ci).

 

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