Les dattes à Dattier

[GaBuZoMeu]

On peut démontrer que est libre si et seulement si est algébrique.

C'est clairement faux : cos(x) = 1, ou 1/2, ou ...
Tu voulais dire liée ? (Les polynômes de Tchebychev de 1e espèces forment une base de l'espace des polynômes à coefficients rationnels).

[perroquet]

5 :

On démontre par récurrence que:

Et:

On en déduit que et

Et, avec Python:

[Dattier]

Bonjour,

@GBZM : désolé mais je n'arrive pas à trouver un moyen pour rédiger cela proprement.

@Perroquet :

pour le 8 : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 20#p965149

le 10 : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 25#p956984

5 : il y a de l'idée mais, il me semble que ta formule de calcul des u_n n'est pas la bonne.

Bonne journée.

[GaBuZoMeu]

Pour le 5, il suffit de modifier la formule de perroquet en



Pour le 1, je constate que tu n'avais en fait pas de démonstration ....

[Dattier]

1/ Pour le 5, il suffit de modifier la formule de perroquet en



2/ Pour le 1, je constate que tu n'avais en fait pas de démonstration ....

1/ Bravo, cela me semble correct.

2/ Pour tous je n'ai pas rédigé de démos, j'ai juste une idée claire (sans les détails) d'un chemin à suivre.

[GaBuZoMeu]

"Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire arrivent aisément."
En plus tu annonces une réponse d'au plus 10 lignes, de niveau au plus agreg, pour tes questions.
Jusqu'à preuve du contraire, tu n'as pas de démonstration pour la 1) (à part celle que j'ai donnée).

[Dattier]

Si, si, écoute, j'ai perdu toutes motivations, si je la retrouve, j'essaierais de te rédiger cette explication.

Aprés c'est une dizaine de lignes à la louche...

La seule chose que je garantie, maintenant, c'est l'orginalité de ces énigmes, si vous veniez à trouver la même et pas poster par moi, alors je la retirerais de la liste.

[GaBuZoMeu]

21 : Racine scindé
Soient .
est-il scindé dans ?

Mode bourrin : il suffit, pour montrer que est scindé sur , de montrer que le discriminant de (par rapport à ) est positif ou nul. Ce discriminant, comme polynôme en , est

Le discriminant de ce polynôme du troisième degré en est

Puisque est négatif ou nul quel que soit , a toujours deux racines complexes conjuguées, éventuellement confondues. L'autre racine de est donc du signe du produit des racines qui est , donc cette autre racine de est négative ou nulle, quel que soit (le cas ne pose pas de problème). En conclusion, est positif ou nul et est scindé sur pour tout et tout positif ou nul.

[Dattier]

Si je te donne l'astuce ici : est-on quitte ?

[GaBuZoMeu]

22 : Racine complexe
Soient et .
a-t-il au moins une racine non réel ?

Toujours aussi bourrin : le discriminant de P est

et change de signe dans le plan des : et . Donc des fois c'est oui, des fois c'est non.

[GaBuZoMeu]

Tu donnes l'astuce pour le 21 si tu veux, j'ai donné une réponse.
Drôle de formulation, "On est quitte" ! Tu n'as pas de démonstration pour le 1, ce n'est pas une dette commerciale.

[perroquet]

Bonjour

Dattier a écrit:
5 : il y a de l'idée mais, il me semble que ta formule de calcul des u_n n'est pas la bonne.

On a pourtant bien:

Et on en déduit:

[Dattier]

@GBZM : Tu ne le sais pas, mais je suis en dête par rapport à toi, tu acceptais d'explicter quelques choses que je n'ai pas compris, donc j'efface ma dête en te donnant cette réponse.

En fait cela est tacite dans les relations humaines, cela se fait sans le dire, par exemple, imagine que tu répondes à toutes mas questions et que je refuse de répondre au tienne (sur un même sujet) et bien à la fin tu seras fatigué (à juste titre), en effet j'aurais contracté des dettes que je n'aurais pas honoré, et si les autres le savent alors ils refuseront de répondre à mes questions, car je rends pas mes dettes.

Ceci étant dit je me suis servi de ce résultat :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... auss-Lucas

En partant d'un polynôme de degré 4 dont toutes les racines sont réelles, et le polynôme que j'ai donné en est la dérivée.

Voilà, voilà.

[Dattier]

Bonjour,

On a pourtant bien:

Et on en déduit:

Oui, on dirait que tu as raison, c'est moi qui ai buggué.

[GaBuZoMeu]

Merci pour l'astuce. La réponse que j'ai donnée montre qu'on peut s'en sortir pour le 21, même sans astuce ! Par contre le 22 me semble curieux. Te serais-tu trompé dans l'énoncé ?

[perroquet]

4 :

Pour tout , on désigne par le reste dans la division euclidienne de par . On a:


Donc:

Quand décrit les valeurs de à , décrit les valeurs de à , puisque et sont premiers entre eux. On en déduit que:

[Dattier]

Par contre le 22 me semble curieux. Te serais-tu trompé dans l'énoncé ?

Un problème dans mes calculs, l'idées étaient de partir d'un polynôme non scindé dans les réels, et d'examiner sa primitive qui (en utilisant Gauss-Lucas) va avoir au moins une racine non réel.

[Dattier]

@Perroquet :
4 : bravo, cela me semble correct.

[GaBuZoMeu]

Au fait, ce que tu utilises pour 21, c'est pas vraiment Gauss-Lucas, mais juste Rolle.

[Dattier]

Au fait, ce que tu utilises pour 21, c'est pas vraiment Gauss-Lucas, mais juste Rolle.

Oui, il n'y a même pas besoin de Rolle, juste savoir que n'est pas scindé dans les réels quand , et ceci pour un simple argument de croissance stricte.

En fait l'énigme aurait eut tout son poids avec un polynôme de degré 4.